Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty 2n(ln n)^3

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty 2n(ln n)^3
O conteúdo é séries de termos positivos e vamos usar o teste da integral. Para isso, consideramos a função
f(x) = 2x (ln x)^3,
definida para x>1.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do teste da integral: para x>=2, f(x)>0 e
f'(x) = ddxl(2x^-1(ln x)^-3r)<0,
ou seja, f é decrescente em [2,infty). Logo, podemos comparar a série com a integral
integral2^inftyf(x),dx.

Passo 3

Calculamos
integral2^infty 2x(ln x)^3,dx
Fazemos a substituição u=ln x, de modo que du = dxx. Quando x=2, u=ln2; quando xtoinfty, utoinfty. Assim,
integral2^infty 2x(ln x)^3,dx = 2 integralln2^infty u^-3,du
Como
integral u^-3,du = -tfrac12,u^-2,
temos
2 integralln2^infty u^-3,du = 2 l[-tfrac12,u^-2r]ln2^infty = l[-u^-2r]ln2^infty = 0 - l(-(ln2)^-2r) = 1(ln2)^2,
que é finito.

Passo 4

Como a integral imprópria de f(x) em [2,infty) converge, pelo teste da integral a série
sumn=2^infty2n(ln n)^3
converge. Note que o primeiro termo n=1 não está definido, mas isso não afeta a convergência do somatório a partir de n=2.

Resposta

A série sumn=1^infty 2n(ln n)^3 é convergente.

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