Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
O conteúdo é séries de termos positivos e vamos usar o teste da integral. Para isso, consideramos a função
definida para
.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do teste da integral: para
,
e
ou seja,
é decrescente em
. Logo, podemos comparar a série com a integral
.
Passo 3
Calculamos
Fazemos a substituição
, de modo que
. Quando
,
; quando
,
. Assim,
Como
temos
que é finito.
Passo 4
Como a integral imprópria de
em
converge, pelo teste da integral a série
converge. Note que o primeiro termo não está definido, mas isso não afeta a convergência do somatório a partir de
.
converge. Note que o primeiro termo
Resposta
A série
é convergente.