Achar os auto-valores e os auto-vetores do operador T: R^2 R^2 dado por:
T(1,0)=(0,-1) e T(0,1)=(1,0).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Tcolon R^2 to R^2 descrito em relação à base canônica (1,0),(0,1) por
T(1,0) = (0,-1), T(0,1) = (1,0)
Queremos encontrar todos os escalares lambda (autovalores) e vetores não nulos vinC^2 (autovetores) tais que
T(v)=lambda v
Para isso, vamos:
  1. escrever a matriz de T na base canônica,
  2. calcular o polinômio característico,
  3. resolver para lambda,
  4. determinar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Matriz de T na base canônica. As colunas são as imagens de (1,0) e (0,1):
A = 0 & 1 -1 & 0

Passo 3

Polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det! -lambda & 1 -1 & -lambda = (-lambda)(-lambda) - (-1)cdot 1 = lambda^2 + 1

Passo 4

Resolvendo lambda^2 + 1 = 0 obtemos
lambda = i ou lambda = -,i
Logo, não há autovalores reais, mas existem dois autovalores complexos.

Passo 5

Cálculo dos autovetores.
Para , resolvemos
que dá a equação . Tomando , um autovetor é
Para , resolvemos
que dá . Tomando , um autovetor é

Resposta

Os autovalores de são
com autovetores correspondentes (em )

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