Achar os auto-valores e os auto-vetores do operador
dado por:
e
.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
descrito em relação à base canônica
por
Queremos encontrar todos os escalares
(autovalores) e vetores não nulos
(autovetores) tais que
Para isso, vamos:
- escrever a matriz de
na base canônica, - calcular o polinômio característico,
- resolver para
, - determinar os autovetores correspondentes.
Passo 2
Matriz de
na base canônica. As colunas são as imagens de
e
:
Passo 3
Polinômio característico de
A :
Passo 4
Resolvendo
lambda^2 + 1 = 0 obtemos
Logo, não há autovalores reais, mas existem dois autovalores complexos.
Passo 5
Cálculo dos autovetores.
Para
, resolvemos
que dá a equação
. Tomando
, um autovetor é
Para
, resolvemos
que dá
. Tomando
, um autovetor é
Resposta
Os autovalores de
são
com autovetores correspondentes (em
)