Mostre que:
A equação de toda reta no plano pode ser escrita na forma:
, com
constantes reais. Tal forma é conhecida como forma canônica ou equação cartesiana da reta no plano.
A equação de toda reta no plano pode ser escrita na forma:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: queremos mostrar que qualquer reta no plano pode ser descrita por uma equação da forma
, com
e não simultaneamente nulos. O conteúdo que vamos usar é geometria analítica — em particular as noções de vetor diretor e vetor normal de uma reta.
Passo 2
Considere uma reta genérica
e fixe nela um ponto
. Seja
um vetor diretor de
. Então todo ponto
de
pode ser obtido por
Passo 3
Escolhemos um vetor normal
ortogonal a
. Por exemplo,
pois
Passo 4
Um ponto
está em
se, e somente se, o vetor
for perpendicular a
. Logo,
Expandindo temos
Basta então definir
para obter a forma
Passo 5
Repare que escolhemos
, então não perdemos nenhum caso. Isso inclui retas verticais (quando
) e horizontais (quando
).
Resposta
A forma canônica (ou cartesiana) de qualquer reta no plano é
com
e
.