Mostre que:
A equação de toda reta no plano pode ser escrita na forma: a x+b y+c=0, com a, b, c constantes reais. Tal forma é conhecida como forma canônica ou equação cartesiana da reta no plano.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos mostrar que qualquer reta no plano pode ser descrita por uma equação da forma :a x + b y + c = 0:, com a,b,cinR e não simultaneamente nulos. O conteúdo que vamos usar é geometria analítica — em particular as noções de vetor diretor e vetor normal de uma reta.

Passo 2

Considere uma reta genérica L e fixe nela um ponto (x0,y0). Seja v=(v1,v2)neq(0,0) um vetor diretor de L. Então todo ponto (x,y) de L pode ser obtido por
(x,y) ;=;(x0,y0);+;t,(v1,v2), tinR

Passo 3

Escolhemos um vetor normal n=(a,b) ortogonal a v. Por exemplo,
n=(-v2,v1),
pois
ncdotv =-v2,v1 + v1,v2 =0

Passo 4

Um ponto (x,y) está em L se, e somente se, o vetor (x,y)-(x0,y0) for perpendicular a n. Logo,
a,(x-x0)+b,(y-y0)=0
Expandindo temos
a x + b y -l(a x0 + b y0r)=0
Basta então definir
c = -l(a x0 + b y0r)
para obter a forma
a x + b y + c = 0

Passo 5

Repare que escolhemos (a,b)neq(0,0), então não perdemos nenhum caso. Isso inclui retas verticais (quando b=0) e horizontais (quando a=0).

Resposta

A forma canônica (ou cartesiana) de qualquer reta no plano é
a x + b y + c = 0
com a,b,cinR e (a,b)neq(0,0).

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