Dados os operadores lineares abaixo, calcule os determinantes pedidos:
Seja F: R^3 R^3 dado por F(x, y, z)=(x-y+z, 2 x-z, x+y+z). Escreva a matriz de F na base canônica e calcule det(F) e det(F^2).

Passo 1

O enunciado define o operador linear FcolonR^3toR^3 por
F(x,y,z) = (,x - y + z,;2x - z,;x + y + z,)
Precisamos (i) encontrar a matriz de F na base canônica de R^3, (ii) calcular det(F) e (iii) calcular det(F^2). Para isso usaremos que, na base canônica, as colunas da matriz são as imagens de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) e a propriedade det(F^2)=det(F)^2.

Passo 2

Vamos obter a matriz A de F calculando F(e1), F(e2) e F(e3), onde e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).
F(1,0,0) = (1 - 0 + 0,;2cdot1 - 0,;1 + 0 + 0) = (1,2,1),
F(0,1,0) = (0 - 1 + 0,;2cdot0 - 0,;0 + 1 + 0) = (-1,0,1),
F(0,0,1) = (0 - 0 + 1,;2cdot0 - 1,;0 + 0 + 1) = (1,-1,1)
Logo, na base canônica,
A = [,F(e1);F(e2);F(e3),] = 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 1 & 1 & 1

Passo 3

Calculemos det(A). Usamos a expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet!0 & -11 & 1 -(-1)cdotdet!2 & -11 & 1 +1cdotdet!2 & 01 & 1
Cada menor vale
det0 & -11 & 1 =0cdot1 -(-1)cdot1 = 1, det2 & -11 & 1 =2cdot1 -(-1)cdot1 = 3,
det2 & 01 & 1 =2cdot1 - 0cdot1 = 2
Substituindo,
det(A) = 1cdot1 +1cdot3 +1cdot2 = 6
Portanto det(F)=6.

Passo 4

Para calcular det(F^2), usamos a propriedade de determinantes de operadores lineares: se B é a matriz de F, então a matriz de F^2 é B^2 e
det(F^2) = det(B^2) = [det(B)]^2
Logo,
det(F^2) = (det(F))^2 = 6^2 = 36

Resposta

A matriz de F na base canônica é
1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 1 & 1 & 1 ,
det(F)=6 e det(F^2)=36.

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