Mostre que o grupo multiplicatico
é cíclico. Apresente dois geradores e o subgrupo gerado por 10 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o grupo multiplicativo
é cíclico de ordem
apresentar dois de seus geradores (raízes primitivas) e determinar o subgrupo
. Para isso usaremos o conceito de ordem de um elemento e o Teorema de Lagrange, que diz que a ordem de qualquer elemento divide o tamanho do grupo.
Passo 2
Vamos testar o elemento
. Os divisores próprios de
são
. Calculamos
Como nenhum desses expoentes produz
e pelo Teorema de Lagrange a ordem de
deve dividir
, concluímos que
logo
é um gerador de
.
Passo 3
Escolhemos agora
. Novamente os divisores próprios de
são
. Calculamos
Logo
e
também gera todo o grupo.
Passo 4
Para o subgrupo gerado por
, basta calcular potências de
em
:
Dessa forma
alterna entre
e
, e
Resposta
O subgrupo gerado por