Mostre que o grupo multiplicatico Z11^* é cíclico. Apresente dois geradores e o subgrupo gerado por 10 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o grupo multiplicativo Z11^* é cíclico de ordem
|Z11^*| = varphi(11) = 10,
apresentar dois de seus geradores (raízes primitivas) e determinar o subgrupo lang<= 10rang<=. Para isso usaremos o conceito de ordem de um elemento e o Teorema de Lagrange, que diz que a ordem de qualquer elemento divide o tamanho do grupo.

Passo 2

Vamos testar o elemento 2. Os divisores próprios de 10 são 1,2,5. Calculamos
2^1 equiv 2 notequiv 1 pmod11, 2^2 equiv 4 notequiv 1 pmod11, 2^5 equiv 32 equiv 10 notequiv 1 pmod11
Como nenhum desses expoentes produz 1 e pelo Teorema de Lagrange a ordem de 2 deve dividir 10, concluímos que
ord(2) = 10,
logo 2 é um gerador de Z11^*.

Passo 3

Escolhemos agora 6. Novamente os divisores próprios de 10 são 1,2,5. Calculamos
6^1 equiv 6 notequiv 1, 6^2 equiv 36 equiv 3 notequiv 1, 6^5 equiv 6^2cdot6^2cdot6 equiv 3cdot3cdot6 equiv 54 equiv 10 notequiv 1pmod11
Logo ord(6)=10 e 6 também gera todo o grupo.

Passo 4

Para o subgrupo gerado por 10, basta calcular potências de 10 em Z11:
10^1 equiv 10, 10^2 equiv 100 equiv 1pmod11
Dessa forma 10^k alterna entre 10 e 1, e
lang<= 10rang<= = ,1,,10

Resposta

Z11^* é cíclico de ordem 10. Dois geradores são 2 e 6.
O subgrupo gerado por 10 é 1,10.

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