Achar uma base para o núcleo da transformação linear T: R^5 R^3 cuja matriz (nas bases canônicas) é
A=[ccccc 1 & 2 & 3 & 1 & 2 3 & 4 & 5 & 3 & 4 1 & 0 & -1 & 1 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede uma base para o núcleo de T:R^5toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 1 & 2 & 3 & 1 & 2 3 & 4 & 5 & 3 & 4 1 & 0 & -1 & 1 & 0
Conteúdo: encontrar ker T = xinR^5 : Ax=0. Vamos usar escalonamento de linhas para resolver Ax=0.

Passo 2

Escrevemos o sistema
Aplicamos operações elementares () para obter a forma escalonada.

Passo 3

Após as operações temos
1 & 2 & 3 & 1 & 2 0 & -2 & -4 & 0 & -2 0 & -2 & -4 & 0 & -2
que reduz a duas equações independentes:
x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 0, -2x2 -4x3 -2x5 = 0
Da segunda equação vem
x2 + 2x3 + x5 = 0 Longrightarrow x2 = -2x3 - x5
Substituindo na primeira:
x1 +2(-2x3 - x5) +3x3 +x4 +2x5 = 0 Longrightarrow x1 -x3 +x4 = 0 Longrightarrow x1 = x3 - x4

Passo 4

Escolhemos variáveis livres
s = x3, t = x4, u = x5
Então
x1 = s - t, x2 = -2s - u, x3 = s, x4 = t, x5 = u
Logo
x = s1-2100 + t-10010 + u0-1001

Resposta

Uma base para ker T é
l (1,-2,1,0,0),;(-1,0,0,1,0),;(0,-1,0,0,1) r

Exercícios relacionados