Calcule a n-ésima potência da matriz [cc1 & a 0 & 1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a n-ésima potência da matriz
A = 1 & a [6pt] 0 & 1
O conteúdo principal aqui é manipulação de matrizes triangulares superiores e o uso do fato de que, se definirmos N = A - I, então N é nilpotente ( N^2=0), o que nos permite usar o Teorema do Binômio para matrizes.]

Passo 2

Definimos
I = 1 & 0 [3pt] 0 & 1, N = A - I = 0 & a [3pt] 0 & 0
Note que
N^2 = 0 & a [3pt] 0 & 0 0 & a [3pt] 0 & 0 = 0 & 0 [3pt] 0 & 0 ]

Passo 3

Como A = I + N e N^2=0, aplicamos o Teorema do Binômio para matrizes:
A^n = (I + N)^n = sumk=0^n binomnk I^,n-k N^k = binomn0I + binomn1N = I + n,N

Passo 4

Substituindo N em I + nN, obtemos
A^n = I + n 0 & a [3pt] 0 & 0 = 1 & n,a [3pt] 0 & 1 ]

Resposta

A^n = 1 & n,a [3pt] 0 & 1 ]

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