Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão
e considere bases
de
e
de
. Mostre que se
é uma transformação linear tal que a matriz
é inversível, então
é um isomorfismo linear.
Passo 1
O enunciado fala de espaços vetoriais
e
de mesma dimensão finita
, com bases
em
e
em
, e de uma transformação linear
cuja matriz na escolha de bases
, isto é
, é inversível (matriz quadrada
com determinante não nulo). Queremos mostrar que
é um isomorfismo, ou seja, que
é bijetora.
Passo 2
Mostramos primeiro que
, ou seja, que
é injetora. Se
satisfaz
, então, escrevendo as coordenadas de
na base
por
, temos
Como
é inversível, a única solução de
é
. Logo
, o que implica
. Portanto
e
é injetora.
Passo 3
Agora usamos o Teorema da Dimensão (Teorema da Dimensão Núcleo-Imagens), que diz
Já vimos que
, logo
Mas
é subespaço de
que também tem dimensão
. Assim
, ou seja,
é sobrejetora.
Resposta
Como
é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que
é um isomorfismo linear.