Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão n >= 1 e considere bases B de U e C de V. Mostre que se T: U V é uma transformação linear tal que a matriz [T]B, C é inversível, então T é um isomorfismo linear.

Passo 1

O enunciado fala de espaços vetoriais U e V de mesma dimensão finita n, com bases B em U e C em V, e de uma transformação linear
Tcolon U to V
cuja matriz na escolha de bases B,C, isto é [T]B,C, é inversível (matriz quadrada ntimes n com determinante não nulo). Queremos mostrar que T é um isomorfismo, ou seja, que T é bijetora.

Passo 2

Mostramos primeiro que ker T=0, ou seja, que T é injetora. Se uin U satisfaz T(u)=0, então, escrevendo as coordenadas de u na base B por [u]B, temos
[T]B,C,[u]B = [,T(u),]C = [0]C
Como [T]B,C é inversível, a única solução de [T]B,C,x=0 é x=0. Logo [u]B=0, o que implica u=0. Portanto ker T=0 e T é injetora.

Passo 3

Agora usamos o Teorema da Dimensão (Teorema da Dimensão Núcleo-Imagens), que diz
dim U = dim(ker T) + dim(imT)
Já vimos que dim(ker T)=0, logo
dim(imT)=dim U = n
Mas imT é subespaço de V que também tem dimensão n. Assim imT = V, ou seja, T é sobrejetora.

Resposta

Como T é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que T é um isomorfismo linear.

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