Achar uma base do subespaço
.
Passo 1
O enunciado pede uma base do subespaço
gerado pelos vetores
O conteúdo aqui é identificação de vetores linearmente independentes e remoção de redundâncias para obter uma base de
.
Passo 2
Verificamos primeiro se
Como mas
daria
, vemos que não há
que satisfaça todos os três iguais. Logo
e
são linearmente independentes.
Passo 3
Agora mostramos que
fica no span de
e
. Procuramos
tais que
isto é,
Isso gera o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema, da segunda equação vem
alpha=-1-2beta . Substituindo na primeira:
que é sempre verdade, então usamos a terceira para fixar
beta :
o que mostra que de fato há solução livre em
beta . Para achar um par
(alpha,beta) , tomamos por exemplo
beta=-3 . Então
Verifica-se que
alpha=5 ,
beta=-3 satisfaz todas as três equações simultaneamente. Logo
está no span de
a,b .
Passo 5
Como
cinspana,b e já mostramos que
a,b são independentes, concluímos que
é um conjunto gerador independente de
W , ou seja, é uma base de
W .
Resposta
Uma base para o subespaço gerado por
a,b,c é