Achar uma base do subespaço
a=(2,2,-1), b=(4,1,-2), c=(-2,7,1).

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço WsubseteqR^3 gerado pelos vetores
a = (2,2,-1), b = (4,1,-2), c = (-2,7,1)
O conteúdo aqui é identificação de vetores linearmente independentes e remoção de redundâncias para obter uma base de W=spana,b,c.

Passo 2

Verificamos primeiro se
Como mas daria , vemos que não há que satisfaça todos os três iguais. Logo e são linearmente independentes.

Passo 3

Agora mostramos que c fica no span de a e b. Procuramos alpha,beta tais que
alpha,a+beta,b=c,
isto é,
alpha,(2,2,-1)+beta,(4,1,-2)=(-2,7,1)
Isso gera o sistema
2alpha+4beta=-2, 2alpha+beta=7, -alpha-2beta=1

Passo 4

Resolvendo o sistema, da segunda equação vem alpha=-1-2beta. Substituindo na primeira:
2(-1-2beta)+4beta=-2implies -2-4beta+4beta=-2implies -2=-2,
que é sempre verdade, então usamos a terceira para fixar beta:
-(-1-2beta)-2beta=1implies 1+2beta-2beta=1implies1=1,
o que mostra que de fato há solução livre em beta. Para achar um par (alpha,beta), tomamos por exemplo beta=-3. Então
alpha=-1-2(-3)=5
Verifica-se que alpha=5, beta=-3 satisfaz todas as três equações simultaneamente. Logo
c = 5,a - 3,b
está no span de a,b.

Passo 5

Como cinspana,b e já mostramos que a,b são independentes, concluímos que
,a,b
é um conjunto gerador independente de W, ou seja, é uma base de W.

Resposta

Uma base para o subespaço gerado por a,b,c é
l(2,2,-1),;(4,1,-2)r

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