Diagonalize a matriz , isto é, encontre uma matriz M tal que

Passo 1

O problema pede para diagonalizar
A = 5 & 3[6pt]3 & -3,
ou seja, encontrar uma matriz M invertível tal que
M^-1 A M
seja diagonal. Para isso vamos precisar calcular os autovalores (eigenvalues) de A e, em seguida, os autovetores (eigenvectors) correspondentes.]

Passo 2

Começamos encontrando o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!5-lambda & 3[4pt]3 & -3-lambda = (5-lambda)(-3-lambda) - 3cdot3
Expandindo,
(5-lambda)(-3-lambda)-9 = -15 -5lambda +3lambda +lambda^2 -9 = lambda^2 -2lambda -24
Logo, os autovalores satisfazem
lambda^2 -2lambda -24 = 0 Longrightarrow lambda = 2pm raiz4 +962 = 2pm102,
ou seja,
lambda1 = 6, lambda2 = -4 ]

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
. Para , resolvemos
Da primeira linha , vem . Podemos escolher
. Para , resolvemos
Da primeira linha , vem . Podemos escolher
]

Passo 4

Formamos a matriz M cujas colunas são v1 e v2:
M = 3 & 1[4pt]1 & -3
O determinante de M é
det M = 3cdot(-3) - 1cdot1 = -9 -1 = -10 neq 0,
logo M é invertível. A inversa é
M^-1 = 1det M -3 & -1[4pt]-1 & 3 = 3/10 & 1/10[4pt]1/10 & -3/10 ]

Passo 5

Finalmente, calculamos
M^-1AM =3/10 & 1/10[4pt]1/10 & -3/10 5 & 3[4pt]3 & -3 3 & 1[4pt]1 & -3 =6 & 0[4pt]0 & -4
Portanto a diagonalização correta é com ,6 e -4 na diagonal (e não -4 e -6).]

Resposta

M = 3 & 1[4pt]1 & -3, M^-1AM = 6 & 0[4pt]0 & -4 ]

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