Seja A=[rrr-2 & 1 & -1 0 & 5 & 2 0 & 0 & -1] O vetor (2, alpha, beta) é um autovetor associado ao autovalor 5. Determine a soma alpha+beta. R: alpha+beta=14

Passo 1

Estamos em Álgebra Linear, buscando um autovetor de
A = -2 & 1 & -1 0 & 5 & 2 0 & 0 & -1
associado ao autovalor lambda=5. O enunciado afirma que existe um autovetor
x = 2alphabeta
e pede a soma alpha+beta.

Passo 2

Para encontrar esse autovetor, montamos o sistema (A - 5I)x = 0. Primeiro
A - 5I = -2-5 & 1 & -1 0 & 5-5 & 2 0 & 0 & -1-5 = -7 & 1 & -1 0 & 0 & 2 0 & 0 & -6
Logo, (A-5I)x=0 gera
-7cdot2 + 1cdotalpha + (-1)cdotbeta = 0, 0cdot2 + 0cdotalpha + 2beta = 0, 0cdot2 + 0cdotalpha + (-6)beta = 0

Passo 3

Da segunda equação vem
2beta = 0 Longrightarrow beta = 0
A terceira é redundante, confirmando beta=0.

Passo 4

Substituindo beta=0 na primeira equação,
-14 + alpha - 0 = 0 Longrightarrow alpha = 14

Passo 5

Portanto
alpha + beta = 14 + 0 = 14

Resposta

alpha+beta = 14.

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