Nos Problemas 20 a 23, determinar a equação geral do plano que contém os seguintes pares de retas:
r: x=z ; y=-3 e s:lx=-t y=1 z=2-t

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas
r: x=z,;y=-3
s:
x=-t, y=1, z=2-t
O conteúdo aqui é a construção de um plano a partir de duas retas paralelas: basta achar um vetor normal ao plano via produto vetorial de um vetor diretor comum às retas e de um vetor que ligue um ponto de uma reta a um ponto da outra.

Passo 2

Escrevemos cada reta em forma paramétrica:
– Para r, use parâmetro u:
x=u, y=-3, z=u,
logo um ponto em r é P=(0,-3,0) e um vetor diretor é
u=(1,0,1)
– Para s, use parâmetro t:
x=-t, y=1, z=2-t,
então um ponto em s é Q=(0,1,2) e um vetor diretor é
v=(-1,0,-1)
Note que v=-u, isto é, as retas são paralelas e têm direção comum u.

Passo 3

Para achar o normal n do plano formamos o vetor que liga P a Q:
PQ=Q-P=(0,1,2)-(0,-3,0)=(0,4,2)
Então fazemos o produto vetorial
n=utimesPQ = i&j&k 1&0&1 0&4&2 =(-4,-2,4)
Podemos simplificar dividindo por -2, obtendo
n=(2,1,-2)

Passo 4

A equação do plano com normal n=(2,1,-2) que passa por P=(0,-3,0) é
2(x-0)+1(y+3)-2(z-0)=0
ou seja
2x + y - 2z + 3 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
2x + y - 2z + 3 = 0

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