Seja a curva C: r(t)=(3 t sen(t)+3 cos (t), 3 t cos (t)-3 sen(t), 2 t^2) :
(a) Mostrar que C está contida em uma superfície parabólica;
(b) A curva C é suave? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
C: vec r(t) = (3tsen t +3cos t,;3tcos t -3sen t,;2t^2).
Precisamos (a) mostrar que ela se aninha numa superfície parabólica z = f(x,y) e (b) verificar se ela é suave, isto é, se vec r'(t) é contínua e nunca nula.

Passo 2

Primeiro vamos isolar as coordenadas x e y em função de t. Temos
x(t)=3l(tsin t +cos tr), y(t)=3l(tcos t -sin tr)

Passo 3

Para encontrar a relação entre x e y eliminando t, dividimos por 3 e somamos quadrados. Calculamos:
l(x3r)^2 + l(y3r)^2 = (tsin t +cos t)^2 + (tcos t -sin t)^2
Expandindo e somando, os termos mistos se cancelam e ficamos com
(tsin t)^2+(tcos t)^2 +cos^2t+sin^2t = t^2 +1
Logo
x^2+y^2 =9,(t^2+1)

Passo 4

Isolando t^2 obtemos
t^2 = x^2+y^29 -1
Como a terceira coordenada é z(t)=2t^2, basta substituir:
z = 2l(x^2+y^29 -1r) = 29(x^2+y^2) -2
Isso mostra que C vive no paraboloide de revolução
z=29(x^2+y^2)-2

Passo 5

Para ver se C é suave, calculamos a derivada:
vec r,'(t) = (3tcos t,;-3tsin t,;4t) = t,(3cos t,;-3sin t,;4)
Esse vetor é contínuo em t, mas seu módulo é
|vec r,'(t)| = |t|raiz3^2+(-3)^2+4^2 =5|t|
Perceba que em t=0 temos vec r,'(0)=0, ou seja, o vetor tangente some.

Passo 6

Como o requisito de suavidade exige vec r,'(t)neq0 para todo t do domínio, concluímos que C não é suave em t=0 (logo não é suave globalmente).

Resposta

(a) C está contida no paraboloide
z=29(x^2+y^2)-2
(b) A curva não é suave globalmente, pois vec r,'(0)=0.

Exercícios relacionados