Seja a curva
:
(a) Mostrar que
está contida em uma superfície parabólica;
(b) A curva
é suave? Justifique sua resposta.
(a) Mostrar que
(b) A curva
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
C: .
Precisamos (a) mostrar que ela se aninha numa superfície parabólica z = f(x,y) e (b) verificar se ela é suave, isto é, se é contínua e nunca nula.
C:
Precisamos (a) mostrar que ela se aninha numa superfície parabólica z = f(x,y) e (b) verificar se ela é suave, isto é, se
Passo 2
Primeiro vamos isolar as coordenadas x e y em função de t. Temos
Passo 3
Para encontrar a relação entre x e y eliminando t, dividimos por 3 e somamos quadrados. Calculamos:
Expandindo e somando, os termos mistos se cancelam e ficamos com
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Passo 4
Isolando
obtemos
Como a terceira coordenada é
, basta substituir:
Isso mostra que C vive no paraboloide de revolução
Passo 5
Para ver se C é suave, calculamos a derivada:
Esse vetor é contínuo em t, mas seu módulo é
Perceba que em t=0 temos
, ou seja, o vetor tangente some.
Passo 6
Como o requisito de suavidade exige
para todo t do domínio, concluímos que C não é suave em t=0 (logo não é suave globalmente).
Resposta
(a) C está contida no paraboloide
(b) A curva não é suave globalmente, pois
.