Achar uma base do subespaço lang<= a, b, crang<= de R^3, onde
a=(1,2,-3), b=(2,1,-3), c=(1,7,-8).

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
a = (1,2,-3), b = (2,1,-3), c = (1,7,-8)
e pede uma base do subespaço lang<= a,b,crang<=.
Conteúdo: teoria de combinação linear e independência em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro vamos checar se
é . Escrevendo coordenada a coordenada:
Da primeira equação vem e são independentes.

Passo 3

Agora verificamos se c está em lang<= a,brang<=, i.e.\ se existem u,v tais que
u cdot a + v cdot b = c
Em coordenadas:
u + 2v = 1, 2u + v = 7, -3u - 3v = -8

Passo 4

Resolvendo as duas primeiras equações:
u = 1 - 2v, 2(1 - 2v) + v = 7 ;Longrightarrow; 2 -4v + v = 7 ;Longrightarrow; -3v = 5 ;Longrightarrow; v = -tfrac53,
u = 1 - 2l(-tfrac53r) = 1 + tfrac103 = tfrac133
A terceira equação confere:
-3l(tfrac133r) -3l(-tfrac53r) = -13 + 5 = -8
Logo
c = 133,a - 53,b,
portanto cinlang<= a,brang<=.

Passo 5

Como a e b são independentes e c fica no span de a,b, concluímos que
,a,b
é uma base de lang<= a,b,crang<=.

Resposta

Uma base de lang<= a,b,crang<= é
(1,2,-3),,(2,1,-3)

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