Achar coordenadas do vetor (2,1,3) na base
w1=(5,-2,0), w2=(1,-1,0), w3=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de v=(2,1,3) na base formada pelos vetores w1=(5,-2,0), w2=(1,-1,0) e w3=(0,0,1). O conteúdo aqui é representação de um vetor como combinação linear de uma base, o que gera um sistema de equações para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Escrevemos que
c1w1 + c2w2 + c3w3 = v,
ou seja,
c1(5,-2,0) + c2(1,-1,0) + c3(0,0,1) = (2,1,3)
Da igualdade de coordenadas obtemos o sistema
5c1 + c2 = 2, -2c1 - c2 = 1, c3 = 3

Passo 3

Para resolver as duas primeiras equações, somamos ambas:
(5c1 + c2)+(-2c1 - c2)=2+1 Longrightarrow 3c1 = 3 Longrightarrow c1 = 1
Substituindo c1=1 em 5c1 + c2 = 2
5cdot1 + c2 = 2 Longrightarrow c2 = -3

Passo 4

A terceira equação já dá diretamente c3 = 3.

Resposta

As coordenadas de (2,1,3) na base w1,w2,w3 são (1,-3,3).

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