Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares a seguir.
T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(2 x+3 y, 3 x-2 y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(2x+3y,;3x-2y)
Queremos encontrar o núcleo (conjunto de vetores que vão em (0,0)) e a imagem (espaço gerado pelos vetores T(x,y)). Para isso, vamos usar a forma matricial de T e resolver o sistema homogêneo e analisar a independência das colunas.

Passo 2

Escrevendo
de modo que . O núcleo é o conjunto de soluções de
isto é, do sistema
Da primeira equação vem . Portanto o único vetor do núcleo é .

Passo 3

Para a imagem, note que as colunas de A,
v1=23, v2=3-2,
são linearmente independentes pois o determinante de A é
det(A)=2cdot(-2)-3cdot3=-4-9=-13neq0
Como as colunas são independentes em R^2, o espaço gerado por elas é todo R^2. Logo Im(T)=R^2.

Resposta

O núcleo de T é
ker(T)=(0,0),
e a imagem de T é
Im(T)=R^2

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