Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares a seguir. definida por
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Queremos encontrar o núcleo (conjunto de vetores que vão em ) e a imagem (espaço gerado pelos vetores ). Para isso, vamos usar a forma matricial de e resolver o sistema homogêneo e analisar a independência das colunas.
Passo 2
Escrevendo
de modo que . O núcleo é o conjunto de soluções de
isto é, do sistema
Da primeira equação vem . Portanto o único vetor do núcleo é .
Passo 3
Para a imagem, note que as colunas de A,
v1=23, v2=3-2,
são linearmente independentes pois o determinante de A é
det(A)=2cdot(-2)-3cdot3=-4-9=-13neq0
Como as colunas são independentes em R^2, o espaço gerado por elas é todo R^2. Logo Im(T)=R^2.