Achar uma base do subespaço lang<= a, b, crang<= de R^3, onde
a=(1,2,-1), b=(2,1,-2), c=(8,7,-8).

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço lang<= a,b,crang<=subsetR^3, onde
a=(1,2,-1), b=(2,1,-2), c=(8,7,-8)
O conteúdo aqui é espaço vetorial em R^3, sendo que uma base é um conjunto de vetores independentes que geram todo o subespaço. Vamos verificar dependências lineares entre a,b,c.

Passo 2

Primeiro, checamos se a e b são independentes. Dois vetores em R^3 são dependentes só se um for múltiplo escalar do outro. Como não existe lambda tal que
(2,1,-2)=lambda,(1,2,-1),
vemos que a e b não são múltiplos e portanto são independentes.

Passo 3

Agora testamos se
Isso dá o sistema
ou seja,
As equações primeira e terceira são equivalentes, então usamos as duas primeiras:
da segunda . Logo

Passo 4

Como c é combinação linear de a e b, o vetor c não acrescenta dimensão ao gerador do subespaço. Já que a,b é conjunto independente e gera c também, concluímos que a,b gera todo lang<= a,b,crang<= e é uma base.

Resposta

Uma base de lang<= a,b,crang<= é
(1,2,-1),,(2,1,-2)

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