Achar bases para todos autoespaços de T.
T(x, y, z)=(x, 3 x-5 y, 2 x-y-4 z);

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a transformação linear Tcolon R^3to R^3 definida por
T(x,y,z) = (x,;3x-5y,;2x - y -4z).
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores (autoespaços). Vamos precisar da matriz de T na base canônica, do polinômio característico e de resolver (A-lambda I)v=0 para cada autovalor lambda.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 1 & 0 & 0 3 & -5 & 0 2 & -1 & -4

Passo 3

Como A é triangular inferior, seus autovalores são as entradas da diagonal. O polinômio característico é
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = (1-lambda)(-5-lambda)(-4-lambda)
Logo
lambda1 = 1, lambda2 = -5 e lambda3 = -4.

Passo 4

Para
que gera o sistema
Da primeira equação vem , ou . Tomando obtemos e . Portanto

Passo 5

Para lambda=-5 temos
A + 5I = 6 & 0 & 0 3 & 0 & 0 2 & -1 & 1 ,
que leva a 6x=0 e -y+z=0. Assim x=0, z=y. Escolhendo y=1 dá o vetor (0,1,1) e
E-5 = span(0,1,1)

Passo 6

Para lambda=-4 calculamos
A + 4I = 5 & 0 & 0 3 & -1 & 0 2 & -1 & 0 ,
o que obriga 5x=0 e -y=0, com z livre. Tomando z=1 dá o vetor (0,0,1) e
E-4 = span(0,0,1)

Resposta

Bases para os autoespaços de T são
E1 = span(10,5,3), E-5 = span(0,1,1), E-4 = span(0,0,1)

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