Achar bases para todos autoespaços de T.
T(x, y, z)=(x,-x+2 y-z,-3 x+5 z);

Passo 1

O enunciado pede as bases de todos os autoespaços de T: R^3to R^3 definido por
T(x,y,z) = l(x,,-x+2y-z,,-3x+5zr)
O conteúdo aqui é encontrar autovalores e autovetores: primeiro escrevemos a matriz de T, depois calculamos o polinômio característico para obter os autovalores lambda e, finalmente, resolvemos (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Vamos obter a matriz A de T na base canônica. Calculando T(e1),T(e2),T(e3):
T(e1)=T(1,0,0)=(1,-1,-3), T(e2)=T(0,1,0)=(0,2,0), T(e3)=T(0,0,1)=(0,-1,5)
Logo
A = 1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 -3 & 0 & 5
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 0 & 0 -1 & 2-lambda & -1 -3 & 0 & 5-lambda =(1-lambda),(2-lambda),(5-lambda)

Passo 3

Dos fatores (1-lambda), (2-lambda), (5-lambda) vemos imediatamente os autovalores
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=5,
cada um de multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Para resolvemos , i.e.
Das equações obtemos
Da segunda vem . Substituindo na primeira dá . Tomando para evitar frações, um gerador é
Portanto uma base do autoespaço de é .

Passo 5

Para resolvemos , i.e.
Da primeira equação , da segunda , e é livre. Tomando gera-se
Assim a base do autoespaço de é .

Passo 6

Para resolvemos , i.e.
Da primeira equação . Da segunda , logo . Tomando
Logo a base do autoespaço de é .

Resposta

Uma vez obtidos os três autovalores, as bases dos respectivos autoespaços são:
lambda=1:\quad (4,7,3) \quad lambda=2:\quad (0,1,0) \quad lambda=5:\quad (0,1,-3)

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