Seja T: R^3 R^3 uma aplicação linear. Determinar bases de Nuc T e de Im T.
T(x, y, z)=(x+y+z, y+z, x);

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear Tcolon R^3toR^3 dada por
T(x,y,z) = (,x+y+z,;y+z,;x,)
Queremos determinar uma base de ker T (o núcleo) e uma base de ImT (a imagem). Para isso, usaremos o método de resolver o sistema T(x,y,z)=0 para o núcleo e de analisar as colunas da matriz de T na base canônica para a imagem.

Passo 2

Para achar ker T, resolvemos
T(x,y,z) = (0,0,0),
isto é, o sistema
x + y + z = 0, y + z = 0, x = 0

Passo 3

Da terceira equação obtemos
o que dá . Fazendo , obtemos

Passo 4

Portanto
ker T = ,t,(0,-1,1)mid tinR
e uma base de ker T é
,(,0,-1,1,)

Passo 5

Para a imagem, calculamos T nos vetores da base canônica:
T(1,0,0) = (1,0,1), T(0,1,0) = (1,1,0), T(0,0,1) = (1,1,0)

Passo 6

Vemos que T(0,1,0)=T(0,0,1), de modo que a imagem é gerada pelos vetores (1,0,1) e (1,1,0), que são linearmente independentes. Logo
ImT = span(1,0,1),,(1,1,0)
e uma base de ImT é
,(1,0,1),,(1,1,0)

Resposta

Base de ker T: (0,-1,1)
Base de ImT: (1,0,1),,(1,1,0)

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