Determine o ângulo entre a reta r:(x, y, z)=(1,2,4)+t(2,5,3) e o plano pi: 2 x+3 y+z-5=0.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a reta
r: (x,y,z) = (1,2,4) + t,(2,5,3)
e o plano
pi: 2x + 3y + z - 5 = 0
Este é um problema de geometria analítica no espaço: precisamos extrair o vetor direção da reta e o vetor normal do plano, e usar a relação que liga o ângulo entre reta e plano com o produto escalar desses vetores.

Passo 2

O vetor direção da reta é
vec v = (2,5,3),
e o vetor normal ao plano é
vec n = (2,3,1),
pois o plano tem a forma 2x+3y+z-5=0.

Passo 3

Calculemos o produto escalar e os módulos:
vec v cdot vec n = 2cdot2 + 5cdot3 + 3cdot1 = 4 + 15 + 3 = 22,
|vec v| = raiz2^2 + 5^2 + 3^2 = raiz4 + 25 + 9 = raiz38,
|vec n| = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14

Passo 4

Seja phi o ângulo entre vec v e vec n, de modo que
cosphi = |vec v cdot vec n||vec v|,|vec n|
O ângulo alpha entre a reta e o plano satisfaz alpha = 90^circ - phi. Da identidade trigonométrica sinphi = cos(90^circ-phi), segue
sinalpha = |vec v cdot vec n||vec v|,|vec n|

Passo 5

Substituindo os valores:
sinalpha = 22raiz38,raiz14 = 22raiz532 = 11raiz133
Logo,
alpha = arcsin!l(11raiz133r)approx 72,1^circ

Resposta

alpha = arcsin!l(11raiz133r)approx 72,1^circ

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