Achar bases para todos autoespaços de T.
T(x, y, z)=(3 x-3 y-4 z, 3 y+5 z,-z);

Passo 1

O enunciado pede as bases dos autoespaços de Tcolon R^3to R^3 dada por
T(x,y,z) = (3x - 3y - 4z,;3y + 5z,;-z)
O conteúdo é Álgebra Linear: obter a matriz de T, calcular os autovalores lambda via det(A-lambda I)=0 e em seguida achar cada autovetor resolvendo (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica (e1,e2,e3) a matriz de T é
A = 3 & -3 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) = (3-lambda)^2,(-1-lambda),
logo os autovalores são lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=-1 (multiplicidade 1).

Passo 4

Para
Da segunda equação vem e fica livre. Assim
o autoespaço associado a é

Passo 5

Para
Da segunda equação para limpar frações, obtemos o autovetor . Assim

Resposta

A base do autoespaço de lambda=3 é (1,0,0) e a base do autoespaço de lambda=-1 é (1,-20,16).

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