Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da T tem forma diagonal e achar esta matriz.
T(x, y, z)=(2 x+5 y+z,-y,-2 y+3 z).

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^3to R^3 por
T(x,y,z)=(2x+5y+z,;-y,;-2y+3z)
e pede para decidir se T é diagonalizável. Se for, temos de encontrar uma base de R^3 formada por autovetores de T e escrever a matriz diagonal correspondente.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica e1,e2,e3. Para T(x,y,z)=(2x+5y+z,,-y,,-2y+3z) temos
A = 2 & 5 & 1 0 & -1 & 0 0 & -2 & 3

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 2-lambda & 5 & 1 0 & -1-lambda & 0 0 & -2 & 3-lambda =(2-lambda) det -1-lambda & 0 -2 & 3-lambda =(2-lambda),(-1-lambda)(3-lambda)

Passo 4

Expandindo (-1-lambda)(3-lambda)=lambda^2-2lambda-3, segue
p(lambda)=(2-lambda)(lambda^2-2lambda-3) =(2-lambda)(lambda-3)(lambda+1)
Os autovalores são lambda1=2, lambda2=3 e lambda3=-1, todos distintos.

Passo 5

Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0:
Autovalor lambda=2:
(A-2I)= 0&5&1 0&-3&0 0&-2&1
o sistema dá y=0, z=0, x livre. Tomamos
v1=(1,0,0)
Autovalor lambda=3:
(A-3I)= -1&5&1 0&-4&0 0&-2&0
o sistema dá y=0, z=x. Tomamos
v2=(1,0,1)
Autovalor lambda=-1:
(A+I)= 3&5&1 0&0&0 0&-2&4
o sistema dá y=2z, x=-tfrac113z. Para evitar frações escolhemos z=3 e ficamos com
v3=(-11,6,3)

Passo 6

Como obtemos três autovetores linearmente independentes, a soma das dimensões dos autoespaços é 3, igual à dimensão de R^3. Logo T é diagonalizável. Na base B=v1,v2,v3 a matriz de T é diagonal com os autovalores na diagonal.

Resposta

A transformação T é diagonalizável. Uma possível base de autovetores é
(1,0,0),;(1,0,1),;(-11,6,3)
e a matriz diagonal correspondente (na ordem indicada) é
2&0&0 0&3&0 0&0&-1

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