Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da tem forma diagonal e achar esta matriz. .
Passo 1
O enunciado define por
e pede para decidir se é diagonalizável. Se for, temos de encontrar uma base de formada por autovetores de e escrever a matriz diagonal correspondente.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de na base canônica . Para temos
Os autovalores são lambda1=2, lambda2=3 e lambda3=-1, todos distintos.
Passo 5
Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0:
Autovalor lambda=2:
(A-2I)= 0&5&1 0&-3&0 0&-2&1
o sistema dá y=0, z=0, x livre. Tomamos
v1=(1,0,0)
Autovalor lambda=3:
(A-3I)= -1&5&1 0&-4&0 0&-2&0
o sistema dá y=0, z=x. Tomamos
v2=(1,0,1)
Autovalor lambda=-1:
(A+I)= 3&5&1 0&0&0 0&-2&4
o sistema dá y=2z, x=-tfrac113z. Para evitar frações escolhemos z=3 e ficamos com
v3=(-11,6,3)
Passo 6
Como obtemos três autovetores linearmente independentes, a soma das dimensões dos autoespaços é 3, igual à dimensão de R^3. Logo T é diagonalizável. Na base B=v1,v2,v3 a matriz de T é diagonal com os autovalores na diagonal.
Resposta
A transformação T é diagonalizável. Uma possível base de autovetores é
(1,0,0),;(1,0,1),;(-11,6,3)
e a matriz diagonal correspondente (na ordem indicada) é