Determinar se a transformações seguintes são diagonalizáveis. Se for diagonalizável, determinar uma base na qual a matriz da T tem forma diagonal e achar esta matriz.
T(x, y, z)=(3 x+z, 2 x-y-2 z, z);

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=(3x+z,;2x - y -2z,;z),
e pede para verificar se T é diagonalizável. Se for, temos que achar um autovalor, sua respectiva base de autovetores e a matriz diagonal correspondente.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz de T na base canônica e1,e2,e3.
Tendo
T(e1)=T(1,0,0)=(3,2,0), T(e2)=T(0,1,0)=(0,-1,0), T(e3)=T(0,0,1)=(1,-2,1),
a matriz é
A = 3 & 0 & 1 2 & -1& -2 0 & 0 & 1

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det 3-lambda & 0 & 1 2 & -1-lambda & -2 0 & 0 & 1-lambda =(1-lambda)det3-lambda&02&-1-lambda
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det(A-lambda I) =(1-lambda)l((3-lambda)(-1-lambda)r) =(1-lambda)(3-lambda)(-1-lambda)
Os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2=3, lambda3=-1,
todos distintos, o que garante que A (e portanto T) é diagonalizável.

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
  1. Para
    Da primeira equação .
    Um autovetor é
  2. Para , resolvemos :
    Um autovetor é
  3. Para :
    Tomando , um autovetor é
Os três vetores são linearmente independentes, formando uma base de .

Passo 5

Como encontramos três autovalores distintos com três autovetores independentes, T é diagonalizável. Na base
B=v2,v1,v3 =(2,1,0),,(1,3,-2),,(0,1,0),
a matriz de T fica diagonal com as entradas na ordem (lambda2,lambda1,lambda3)=(3,1,-1):
[T] B = 3 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

T é diagonalizável. Uma base de autovetores é
(2,1,0),;(1,3,-2),;(0,1,0),
e na ordem indicada a matriz diagonal de T é
3 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1

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