1. Como achar o comprimento de uma curva espacial dada pela função vetorial r(t) ?

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de uma curva espacial dada por uma função vetorial
r:[a,b]toR^3, isto é, queremos medir o “tamanho” do caminho traçado por r(t) para t variando de a até b. O conteúdo aqui é o conceito de comprimento de arco de uma curva parametrizada e o que vamos precisar é de cálculo de limites e integrais.

Passo 2

Para entender a ideia, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimentos De<a ti = ti - ti-1 e aproximamos a curva por segmentos de reta que unem r(ti-1) a r(ti). O comprimento aproximado da curva é então
sumi=1^n |r(ti)-r(ti-1)|

Passo 3

Quando os subintervalos ficam muito pequenos, podemos usar o desenvolvimento em diferença de primeira ordem:
r(ti)-r(ti-1) approx r'(ti-1),De<a ti,
logo cada pedaço vale aproximadamente
|r'(ti-1)|De<a ti. Assim a soma vira
sumi=1^n |r'(ti-1)|,De<a ti,
que é uma soma de Riemann.

Passo 4

Passando ao limite ntoinfty (e assumindo r'(t) contínua em [a,b]), obtemos a integral definida que dá o comprimento exato da curva:
S=limntoinftysumi=1^n |r'(ti-1)|De<a ti =integrala^b|r'(t)|,dt

Passo 5

É importante que r'(t) exista e seja contínua em [a,b] para garantir integrabilidade e que a parametrização não tenha “pausas” ou “voltas infinitas”. Se a curva vier com outra parametrização, pode-se reparametrizá-la mantendo o mesmo procedimento.

Resposta

S = integrala^b lVert r'(t)rVert ,dt

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