Como achar o comprimento de uma curva espacial dada pela função vetorial ?
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de uma curva espacial dada por uma função vetorial , isto é, queremos medir o “tamanho” do caminho traçado por para variando de até . O conteúdo aqui é o conceito de comprimento de arco de uma curva parametrizada e o que vamos precisar é de cálculo de limites e integrais.
Passo 2
Para entender a ideia, dividimos o intervalo em subintervalos de comprimentos e aproximamos a curva por segmentos de reta que unem a . O comprimento aproximado da curva é então
Passo 3
Quando os subintervalos ficam muito pequenos, podemos usar o desenvolvimento em diferença de primeira ordem:
r(ti)-r(ti-1) approx r'(ti-1),De<a ti,
logo cada pedaço vale aproximadamente |r'(ti-1)|De<a ti. Assim a soma vira
sumi=1^n |r'(ti-1)|,De<a ti,
que é uma soma de Riemann.
Passo 4
Passando ao limite ntoinfty (e assumindo r'(t) contínua em [a,b]), obtemos a integral definida que dá o comprimento exato da curva:
S=limntoinftysumi=1^n |r'(ti-1)|De<a ti =integrala^b|r'(t)|,dt
Passo 5
É importante que r'(t) exista e seja contínua em [a,b] para garantir integrabilidade e que a parametrização não tenha “pausas” ou “voltas infinitas”. Se a curva vier com outra parametrização, pode-se reparametrizá-la mantendo o mesmo procedimento.