Use as regras de derivação para derivar cada função.
f(x)=\frac{1+\operatorname{sen}(x)}{x+\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x)=1+sin x,x+cos x,
O tema aqui é derivação de quociente e precisamos usar:
  1. Regra do quociente: se f(x)=u(x)v(x) então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
  1. Derivadas básicas: ddx(sin x)=cos x e ddx(cos x)=-sin x.

Passo 2

Identificamos
u(x)=1+sin x, v(x)=x+cos x
Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=ddx(1+sin x)=cos x,
v'(x)=ddx(x+cos x)=1-sin x

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =l(cos xr)l(x+cos xr)-l(1+sin xr)l(1-sin xr)(x+cos x)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
l(cos xr)l(x+cos xr)=xcos x+cos^2 x,
l(1+sin xr)l(1-sin xr)=1-sin^2 x=cos^2 x
Subtraindo, sobra
xcos x+cos^2 x-cos^2 x = xcos x
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f'(x)=xcos x(x+cos x)^2

Resposta

f'(x)=xcos x(x+cos x)^2

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