Seja a matriz de transformação ortogonal S e os vetores a e b,
S=(ccc 0.80 & 0.60 & 0.00 -0.48 & 0.64 & 0.60 0.36 & -0.48 & 0.80 ), a=(l 1 0 1 ), b=(c 0 2 -1 )
(a) Calcule det S.
(b) Verifique que a cdot b é invariante pela aplicação de S sobre a e b.
(c) Aplicando a transformação S sobre a e b, verifique como a times b se transforma.
Sugestão: utilize calculadora ou computador.

Passo 1

O enunciado fornece uma matriz ortogonal S em R^3 e os vetores
a=101, b=02-1
Pede-se:
(a) det S.
(b) Verificar que o produto escalar acdotb é preservado por S.
(c) Verificar como o produto vetorial atimesb se transforma sob S.
Vamos usar a fórmula de determinante de 3times3, multiplicação de matrizes para obter Sa e Sb, e as definições de produto escalar e vetorial.

Passo 2

Cálculo de det S.
S= 0.80 & 0.60 & 0.00 -0.48 & 0.64 & 0.60 0.36 & -0.48 & 0.80
Usando expansão pela primeira linha:
det S =0.80det0.64&0.60-0.48&0.80 -0.60det-0.48&0.600.36&0.80
Calculemos os menores:
det0.64&0.60-0.48&0.80 =0.64cdot0.80-0.60cdot(-0.48)=0.512+0.288=0.800,
det-0.48&0.600.36&0.80 =-0.48cdot0.80-0.60cdot0.36=-0.384-0.216=-0.600
Logo
det S=0.80cdot0.800-0.60cdot(-0.600)=0.640+0.360=1.000

Passo 3

Verificação da invariância do produto escalar.
Primeiro calculo acdotb:
acdotb =1cdot0+0cdot2+1cdot(-1)=-1
Agora obtenho Sa e Sb:
Sa =0.80cdot1+0.60cdot0+0cdot1-0.48cdot1+0.64cdot0+0.60cdot10.36cdot1-0.48cdot0+0.80cdot1 =0.800.121.16,
Sb =0.80cdot0+0.60cdot2+0cdot(-1)-0.48cdot0+0.64cdot2+0.60cdot(-1)0.36cdot0-0.48cdot2+0.80cdot(-1) =1.200.68-1.76
Então
(Sa)cdot(Sb) =0.80cdot1.20+0.12cdot0.68+1.16cdot(-1.76) =0.96+0.0816-2.0416=-1.0000
Portanto (Sa)cdot(Sb)=acdotb=-1.

Passo 4

Transformação do produto vetorial.
Calculo primeiro
atimesb =101times02-1 =-212
Em seguida
S(atimesb) =S-212 =-1.02.80.4
E já calculamos ,Sa e Sb, logo
(Sa)times(Sb) =0.800.121.16times1.200.68-1.76 =-1.02.80.4
Assim vemos que
S(atimesb)=(Sa)times(Sb),
ou seja, o produto vetorial também é preservado (com orientação, já que det S=1).

Resposta

(a) det S=1.
(b) acdotb=-1 e (Sa)cdot(Sb)=-1, logo o produto escalar é invariante.
(c) atimesb=(-2,1,2) e
S(atimesb)=(Sa)times(Sb)=(-1.0,,2.8,,0.4),
ou seja, o produto vetorial é levado em si por S.

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