Exercício 8: Efetue as operações e simplifique:
  1. 1x+2x^2-2 x-6x^2-4
    1x+1y cdot 1x^2-1 cdot y^2x-2

Passo 1

Temos duas expressões racionais para operar e simplificar:
  1. 1x+2x^2-2x-6x^2-4
  2. 1x+1ycdot1x^2-1cdoty^2x-2
    O conteúdo envolve fatoração de polinômios, encontro de denominador comum e cancelamento de fatores.

Passo 2

Para a expressão 1) fatoramos os denominadores:
x^2-2x=x(x-2), x^2-4=(x-2)(x+2)

Passo 3

O menor múltiplo comum é x(x-2)(x+2). Reescrevemos cada fração com esse denominador:
1x =(x-2)(x+2)x(x-2)(x+2), 2x(x-2) =2(x+2)x(x-2)(x+2), -6(x-2)(x+2) =-6xx(x-2)(x+2)

Passo 4

Somando os numeradores:
(x-2)(x+2)+2(x+2)-6x =x^2-4+2x+4-6x =x^2-4x =x(x-4)
Logo a expressão fica
x(x-4)x(x-2)(x+2) ;xrightarrow;cancelx;; x-4(x-2)(x+2)

Passo 5

Para a expressão 2) primeiro efetuamos a multiplicação das três frações:
1ycdot1x^2-1cdoty^2x-2 =y^2y,(x^2-1),(x-2) =y(x^2-1)(x-2),
e em seguida fatoramos x^2-1=(x-1)(x+1), obtendo
y(x-1)(x+1)(x-2).

Passo 6

Agora somamos com 1x. O denominador comum é
,x(x-1)(x+1)(x-2). Reescrevemos:
1x =(x-1)(x+1)(x-2)x(x-1)(x+1)(x-2), y(x-1)(x+1)(x-2) =yxx(x-1)(x+1)(x-2)

Passo 7

Somando os numeradores:
(x-1)(x+1)(x-2)+yx
Portanto o resultado final é
(x-1)(x+1)(x-2)+yxx(x-1)(x+1)(x-2)

Resposta

  1. x-4(x-2)(x+2)
  2. (x-1)(x+1)(x-2)+yxx(x-1)(x+1)(x-2)

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