Como achar o comprimento de uma curva espacial dada pela função vetorial r(t) ?

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do comprimento de uma curva espacial definida pela função vetorial r(t) no intervalo [a,b]. O conteúdo é comprimento de curva em R^3, para o qual vamos precisar da derivada de r(t), da norma de vetores e de uma integral definida.

Passo 2

Para aproximar o comprimento, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos
a = t0 < t1 < cdots < tn = b
e aproximamos cada trecho da curva por um segmento de reta, cujos comprimentos são
l|r(ti)-r(ti-1)r|
Assim, a soma dos comprimentos aproximados é
sumi=1^n l|r(ti)-r(ti-1)r|

Passo 3

Quando refinamos a partição, ti-ti-1to0 e podemos usar o fato de que
r(ti)-r(ti-1)approx r'(ti^*),(ti-ti-1),
onde ti^* está em [ti-1,ti]. Então
sumi=1^n l|r(ti)-r(ti-1)r| approx sumi=1^n l|r'(ti^*)r|,(ti-ti-1)
e, no limite ntoinfty, isso converge para a integral definida do módulo da velocidade.

Resposta

L = integrala^b l|r'(t)r|,dt

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