Calcule a função inversa das seguintes funções, caso não seja possível justifique a razão.
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Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente precisa calcular as funções inversas das seguintes funções:
Para isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e quais condições uma função precisa cumprir para ter uma inversa. Basicamente, uma função inversa “desfaz” o que a função original faz. Mas nem toda função tem uma inversa, então vamos descobrir isso também.
Passo 2
Vamos começar com a função
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Primeiro, precisamos verificar se essa função tem uma inversa. Para isso, a função precisa ser injetora (ou seja, cada saída está associada a apenas uma entrada). Uma maneira de verificar isso é analisando a derivada da função.
Calculando a derivada de
:
Agora, vamos analisar se existe alguma mudança de sinal em
:
Como
é sempre não negativo e multiplicado por 3,
é sempre positivo. Isso significa que a função
está sempre aumentando e, portanto, é estritamente crescente. Assim,
é injetora e tem uma inversa.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função inversa de
.
Para encontrar
, seguimos os passos:
- Substituir
por :
-
Resolver a equação para
em termos de : Observando a equação, percebemos que:
Vamos verificar:
Então, a equação fica:
- Isolar
:
Portanto, a função inversa de
é:
Passo 4
Agora, vamos para a função
.
Primeiro, precisamos verificar se essa função tem uma inversa. Novamente, a função precisa ser injetora.
Como
é uma função quadrática, sabemos que ela não é injetora em todo o seu domínio porque funções quadráticas são simétricas em relação ao eixo vertical e, portanto, não passam no teste da linha horizontal (a linha horizontal corta a parábola em dois pontos diferentes).
Passo 5
Como
não é injetora em todo o seu domínio, ela não possui uma função inversa definida para todos os valores de
.
Resposta
- A função inversa de
é:
- A função
não possui uma função inversa definida para todo o seu domínio, pois não é uma função injetora.