Calcule a função inversa das seguintes funções, caso não seja possível justifique a razão.
  • f(x)=x^3-6 x^2+12 x-8 ;
  • g(x)=x^2-7 x+6.

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente precisa calcular as funções inversas das seguintes funções:
  • f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8
  • g(x) = x^2 - 7x + 6
Para isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e quais condições uma função precisa cumprir para ter uma inversa. Basicamente, uma função inversa “desfaz” o que a função original faz. Mas nem toda função tem uma inversa, então vamos descobrir isso também.

Passo 2

Vamos começar com a função f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 .
Primeiro, precisamos verificar se essa função tem uma inversa. Para isso, a função precisa ser injetora (ou seja, cada saída está associada a apenas uma entrada). Uma maneira de verificar isso é analisando a derivada da função.
Calculando a derivada de f(x) :
f'(x) = 3x^2 - 12x + 12
Agora, vamos analisar se existe alguma mudança de sinal em f'(x) :
f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3(x - 2)^2
Como (x - 2)^2 é sempre não negativo e multiplicado por 3, f'(x) é sempre positivo. Isso significa que a função f(x) está sempre aumentando e, portanto, é estritamente crescente. Assim, f(x) é injetora e tem uma inversa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função inversa de f(x) .
Para encontrar f^-1(y) , seguimos os passos:
  1. Substituir f(x) por y :
y = x^3 - 6x^2 + 12x - 8
  1. Resolver a equação para x em termos de y :
    Observando a equação, percebemos que:
x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x - 2)^3
Vamos verificar:
(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8
Então, a equação fica:
y = (x - 2)^3
  1. Isolar x :
(x - 2)^3 = y
x - 2 = raiz[3]y
x = raiz[3]y + 2
Portanto, a função inversa de f(x) é:
f^-1(y) = raiz[3]y + 2

Passo 4

Agora, vamos para a função g(x) = x^2 - 7x + 6 .
Primeiro, precisamos verificar se essa função tem uma inversa. Novamente, a função precisa ser injetora.
Como g(x) é uma função quadrática, sabemos que ela não é injetora em todo o seu domínio porque funções quadráticas são simétricas em relação ao eixo vertical e, portanto, não passam no teste da linha horizontal (a linha horizontal corta a parábola em dois pontos diferentes).

Passo 5

Como g(x) não é injetora em todo o seu domínio, ela não possui uma função inversa definida para todos os valores de x .

Resposta

  • A função inversa de f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 é:
f^-1(y) = raiz[3]y + 2
  • A função g(x) = x^2 - 7x + 6 não possui uma função inversa definida para todo o seu domínio, pois não é uma função injetora.

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