Calcule o domínio das seguintes funções
  • f(x)=raizx^2-3 x+2x-1 ;
  • g(x)=raizx^3-3 x^2+6 x-8x-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o domínio das funções f(x) e g(x) . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações, garantindo que:
  1. O que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero.
  2. O denominador das frações não seja zero.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
f(x) = raizx^2 - 3x + 2x - 1
Primeiro, precisamos garantir que o denominador x - 1 não seja zero, porque não podemos dividir por zero. Então:
x - 1 neq 0
x neq 1

Passo 3

Agora, vamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
x^2 - 3x + 2x - 1 >= 0
Para resolver essa inequação, precisamos fatorar o numerador:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Substituindo de volta na inequação:
(x - 1)(x - 2)x - 1 >= 0

Passo 4

Simplificamos a expressão:
(x - 1)(x - 2)x - 1 = x - 2
Mas lembrando que x neq 1 .
Então, a inequação fica:
x - 2 >= 0
x >= 2

Passo 5

Agora, juntando com a restrição anterior x neq 1 , mas como x >= 2 , x = 1 já está excluído. Portanto, o domínio de f(x) é:
x >= 2

Passo 6

Vamos agora para a segunda função:
g(x) = raizx^3 - 3x^2 + 6x -8x - 2
Primeiro, garantimos que o denominador x - 2 não seja zero:
x - 2 neq 0
x neq 2

Passo 7

Agora, garantimos que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero:
x^3 - 3x^2 + 6x -8x - 2 >= 0
Vamos fatorar o numerador. Pode ser um pouco mais complexo, mas vamos tentar encontrar fatores. Observando o numerador:
x^3 - 3x^2 + 6x -8
Usando o método de fatoração por tentativa, descobrimos que x = 2 é uma raiz:
2^3 - 3(2)^2 + 6(2) -8 = 8 -12 +12 -8 = 0
Então, podemos fatorar:
x^3 - 3x^2 + 6x -8 = (x - 2)(x^2 - x +4)

Passo 8

Substituindo de volta na inequação:
(x - 2)(x^2 - x +4)x - 2 >= 0
Simplificando:
x^2 - x +4 >= 0
Com a restrição x neq 2 .

Passo 9

Vamos analisar a expressão x^2 - x +4 . O discriminante dessa equação quadrática é:
De<a = (-1)^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15
Como o discriminante é negativo, a expressão x^2 - x +4 nunca é zero e, como o coeficiente de x^2 é positivo, ela é sempre positiva:
x^2 - x +4 > 0

Passo 10

Então, a inequação x^2 - x +4 >= 0 é sempre verdadeira para todos os x , exceto onde o denominador é zero ( x neq 2 ).

Resposta

O domínio das funções é:
  • Para f(x) :
x >= 2
  • Para g(x) :
x in R setminus 2

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