Calcule o domínio das seguintes funções
-
-
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o domínio das funções
e
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações, garantindo que:
- O que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero.
- O denominador das frações não seja zero.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, precisamos garantir que o denominador
não seja zero, porque não podemos dividir por zero. Então:
Passo 3
Agora, vamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero:
Para resolver essa inequação, precisamos fatorar o numerador:
Substituindo de volta na inequação:
Passo 4
Simplificamos a expressão:
Mas lembrando que
.
Então, a inequação fica:
Passo 5
Agora, juntando com a restrição anterior
, mas como
,
já está excluído. Portanto, o domínio de
é:
Passo 6
Vamos agora para a segunda função:
Primeiro, garantimos que o denominador
não seja zero:
Passo 7
Agora, garantimos que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero:
Vamos fatorar o numerador. Pode ser um pouco mais complexo, mas vamos tentar encontrar fatores. Observando o numerador:
Usando o método de fatoração por tentativa, descobrimos que
é uma raiz:
Então, podemos fatorar:
Passo 8
Substituindo de volta na inequação:
Simplificando:
Com a restrição
.
Passo 9
Vamos analisar a expressão
. O discriminante dessa equação quadrática é:
Como o discriminante é negativo, a expressão
nunca é zero e, como o coeficiente de
é positivo, ela é sempre positiva:
Passo 10
Então, a inequação
é sempre verdadeira para todos os
, exceto onde o denominador é zero (
).
Resposta
O domínio das funções é:
- Para
:
- Para
: