Use a regra da cadeia para calcular as derivadas de z em relação a t :
z=x^2 y^3, onde x=r cos t e y=r sin t

Passo 1

O enunciado pede dzdt para a função z=x^2y^3 quando
x = rcos t, y = rsin t
O conteúdo é a regra da cadeia em funções de várias variáveis. Vamos precisar de partial z/partial x, partial z/partial y, dxdt e dydt.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = partialpartial xl(x^2y^3r) = 2x,y^3,
partial zpartial y = partialpartial yl(x^2y^3r) = 3x^2,y^2

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = ddtl(rcos tr) = -rsin t,
dydt = ddtl(rsin tr) = rcos t

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt = 2x,y^3,(-rsin t) + 3x^2,y^2,(rcos t)

Passo 5

Substituir x=rcos t e y=rsin t:
dzdt = 2,(rcos t),(rsin t)^3,(-rsin t) + 3,(rcos t)^2,(rsin t)^2,(rcos t)
Agrupando potências de r e simplificando:
dzdt = r^5l[-2cos t,sin^4t +3cos^3t,sin^2tr]
Podemos ainda fatorar cos t,sin^2t:
dzdt = r^5,cos t,sin^2tl(3cos^2t-2sin^2tr)

Resposta

dzdt = r^5l[-2cos t,sin^4t +3cos^3t,sin^2tr] ;=; r^5,cos t,sin^2tl(3cos^2t-2sin^2tr)

Exercícios relacionados