Calcule a inversa da seguinte função, caso existir, e verifique.
Passo 1
O enunciado pede a função inversa de
para isso precisamos mostrar que
é bijetora (injeção via monotonicidade e sobrejeção via alcance) e depois resolver a equação
para
.
Passo 2
Mostramos que
é estritamente crescente, logo injetora, e determinamos seu alcance.
O derivado é
O derivado é
Além disso,
ou seja,
é bijetora.
Passo 3
Para achar a inversa, escrevemos
e resolvemos para
:
Passo 4
Tirando o logaritmo, obtemos
Portanto, para
a inversa é
Renomeando a variável de entrada como
,
Passo 5
Verificação das composições:
- Seja
. Então e
- Seja
. Então e