Calcule a inversa da seguinte função, caso existir, e verifique.
f(x)=e^x1+2 e^x

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de
f(x)=e^x1+2e^x
para isso precisamos mostrar que f é bijetora (injeção via monotonicidade e sobrejeção via alcance) e depois resolver a equação y=f(x) para x.

Passo 2

Mostramos que f é estritamente crescente, logo injetora, e determinamos seu alcance.
O derivado é
f'(x) =(1+2e^x)cdot e^x-e^xcdot2e^x(1+2e^x)^2 =2e^x(1+2e^x)^2>0
Além disso,
limxto -inftyf(x)=0, limxto +inftyf(x)=12,
ou seja, fcolonRto(0,tfrac12) é bijetora.

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos y=f(x) e resolvemos para x:
y(1+2e^x)=e^x Longrightarrow y+2y,e^x=e^x Longrightarrow y=e^x(1-2y) Longrightarrow e^x=y1-2y

Passo 4

Tirando o logaritmo, obtemos
x=ln!l(y1-2yr)
Portanto, para yin(0,tfrac12) a inversa é
f^-1(y)=ln!l(y1-2yr)
Renomeando a variável de entrada como x,
f^-1(x)=ln!l(x1-2xr), 0<x<tfrac12

Passo 5

Verificação das composições:
  1. Seja xin(0,tfrac12). Então e^f^-1(x)=tfracx1-2x e
fl(f^-1(x)r) =e^f^-1(x)1+2e^f^-1(x) =tfracx1-2x1+2cdottfracx1-2x =tfracx1-2xtfrac11-2x =x
  1. Seja xinR. Então f(x)=tfrace^x1+2e^x e
f^-1l(f(x)r) =ln!l(tfrace^x1+2e^x1-2cdottfrace^x1+2e^xr) =ln!l(e^xr) =x

Resposta

f^-1(x)=ln!l(tfracx1-2xr), com domínio 0<x<tfrac12.

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