Achar o conjunto solução das seguintes desigualdades:
|x-1|+|x-2|+|x-3| >= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa desigualdade: |x-1| + |x-2| + |x-3| >= 2 . Aqui, estamos lidando com desigualdades envolvendo valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como cada valor absoluto se comporta dependendo do valor de x e dividir o problema em partes para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que fazem cada expressão dentro dos valores absolutos mudar de sinal. Esses pontos são chamados de pontos críticos e, nesse caso, são x = 1 , x = 2 e x = 3 . Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos:
  1. x < 1
  2. 1 <= x < 2
  3. 2 <= x < 3
  4. x >= 3

Passo 3

Agora, vamos analisar cada intervalo separadamente, removendo os valores absolutos de acordo com o sinal de cada expressão dentro deles.
1. Intervalo x < 1 :
  • x-1 < 0 então |x-1| = -(x-1) = -x + 1
  • x-2 < 0 então |x-2| = -(x-2) = -x + 2
  • x-3 < 0 então |x-3| = -(x-3) = -x + 3
A desigualdade fica:
(-x + 1) + (-x + 2) + (-x + 3) >= 2
2. Intervalo 1 <= x < 2 :
  • x-1 >= 0 então |x-1| = x - 1
  • x-2 < 0 então |x-2| = -x + 2
  • x-3 < 0 então |x-3| = -x + 3
A desigualdade fica:
(x - 1) + (-x + 2) + (-x + 3) >= 2
3. Intervalo 2 <= x < 3 :
  • x-1 >= 0 então |x-1| = x - 1
  • x-2 >= 0 então |x-2| = x - 2
  • x-3 < 0 então |x-3| = -x + 3
A desigualdade fica:
(x - 1) + (x - 2) + (-x + 3) >= 2
4. Intervalo x >= 3 :
  • x-1 >= 0 então |x-1| = x - 1
  • x-2 >= 0 então |x-2| = x - 2
  • x-3 >= 0 então |x-3| = x - 3
A desigualdade fica:
(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) >= 2

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade em cada intervalo.
1. Intervalo x < 1 :
- x + 1 - x + 2 - x + 3 >= 2 -3x + 6 >= 2 -3x >= -4 x <= 43
Como estamos no intervalo x < 1 , qualquer x menor que 1 já satisfaz x <= 43 .
2. Intervalo 1 <= x < 2 :
x - 1 - x + 2 - x + 3 >= 2 - x + 4 >= 2 - x >= -2 x <= 2
Dentro desse intervalo 1 <= x < 2 , a solução é todo x nesse intervalo.
3. Intervalo 2 <= x < 3 :
x - 1 + x - 2 - x + 3 >= 2 x + 0 >= 2 x >= 2
No intervalo 2 <= x < 3 , a solução é todo x nesse intervalo.
4. Intervalo x >= 3 :
x - 1 + x - 2 + x - 3 >= 2 3x - 6 >= 2 3x >= 8 x >= 83
Como estamos no intervalo x >= 3 , que já é maior que 83 , todo x nesse intervalo satisfaz a desigualdade.

Resposta

O conjunto solução da desigualdade é todo x real, ou seja, x in R .

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