Achar os conjuntos
e
tal que a função
seja inversivel e tal que a função inversa seja derivavel e calcular
com
e
;
Passo 1
O enunciado pede para achar os conjuntos I e J de forma que f: I → J, com f(x)=
, seja invertível e derivável sua inversa, e depois calcular ((f^{-1})’(4). O conteúdo envolve definição de domínio e imagem, inversão de funções e derivada de função inversa.
Passo 2
Para determinar o domínio I de f, impomos x−9≥0, pois só assim a raiz está definida. Logo I=, que vai de 0 até infinito, ou seja, J=
.
A função f é contínua e estritamente crescente em I, portanto bijetiva de I em J, o que garante a existência de f^{-1}:J→I. Para encontrar f^{-1}, escrevemos y= e resolvemos para x:
A função f é contínua e estritamente crescente em I, portanto bijetiva de I em J, o que garante a existência de f^{-1}:J→I. Para encontrar f^{-1}, escrevemos y=
Logo f{-1}(y)=y2+9.
Passo 3
Para calcular
usamos a fórmula da derivada da inversa:
Primeiro f{-1}(4)=42+9=25. A derivada de f é
Logo f’(25)=1/(2·4)=1/8. Assim
Alternativamente, derivando diretamente f{-1}(y)=y2+9, temos (f^{-1})’(y)=2y, e em y=4 dá 8.
Resposta
8