Achar os conjuntos I e J tal que a função f: I J seja inversivel e tal que a função inversa seja derivavel e calcular f(x)=raizx-9 com
a=4 e ;

Passo 1

O enunciado pede para achar os conjuntos I e J de forma que f: I → J, com f(x)= raizx-9, seja invertível e derivável sua inversa, e depois calcular ((f^{-1})’(4). O conteúdo envolve definição de domínio e imagem, inversão de funções e derivada de função inversa.

Passo 2

Para determinar o domínio I de f, impomos x−9≥0, pois só assim a raiz está definida. Logo I=, que vai de 0 até infinito, ou seja, J= [9,infty) A ima>=m J é o conjunto de valores possíveis de (raizx-9.
A função f é contínua e estritamente crescente em I, portanto bijetiva de I em J, o que garante a existência de f^{-1}:J→I. Para encontrar f^{-1}, escrevemos y= [0,infty) e resolvemos para x:
raizx-9
x-9=y^2
Logo f{-1}(y)=y2+9.

Passo 3

Para calcular (f^-1)'(4) usamos a fórmula da derivada da inversa:
(f^-1)'(a)=1f'(f^-1(a))
Primeiro f{-1}(4)=42+9=25. A derivada de f é
f'(x)=12raizx-9
Logo f’(25)=1/(2·4)=1/8. Assim
Alternativamente, derivando diretamente f{-1}(y)=y2+9, temos (f^{-1})’(y)=2y, e em y=4 dá 8.

Resposta

8

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