Use as regras de diferenciação para calcular f^prime(z) para a função dada.
f(z)=(z^2+2 z-7 i)^2(z^4-4 i z)^3

Passo 1

A função é f(z)=(z²+2z−7i)²·(z⁴−4iz)³, e para derivar precisamos usar a regra do produto (derivada de u·v é u’v+uv’) e a regra da cadeia (derivada de g(h) é g’(h)·h’).

Passo 2

Definimos u(z)=z²+2z−7i e v(z)=z⁴−4iz. Calculamos u’(z) e v’(z):
u'(z)=2z+2,
v'(z)=4z³−4i³

Passo 3

Aplicamos a regra do produto a f(z)=u(z)²·v(z)³, lembrando que (u²)’=2u·u’ e (v³)’=3v²·v’. Assim:
f'(z)=2u(z)·u'(z)·v(z)³+u(z)²·3v(z)²·v'(z)³²²

Passo 4

Substituindo u, u’, v e v’ no resultado anterior, obtemos:
$$f’(z)=2(z²+2z−7i)(2z+2)(z⁴−4iz)³+3(z²+2z−7i)²(z⁴−4iz)²(4z³−4i).
$$

Resposta

f'(z)=2(z^2+2z-7i)(2z+2)(z^4-4iz)^3+3(z^2+2z-7i)^2(z^4-4iz)^2(4z^3-4i)

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