Achar os conjuntos
e
tal que a função
seja inversivel e tal que a função inversa seja derivavel e calcular
com
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar intervalos I e J tais que
função f: I → J dada por
função f: I → J dada por
seja invertível e tenha inversa derivável, e então calcular
para a = 0. Vamos usar teoria de monotonicidade e fórmula da derivada da inversa, que é
[(f{-1})’(a)=\frac{1}{f’(f{-1}(a))}."
Passo 2
Para garantir que f seja invertível e tenha inversa derivável, precisamos de um intervalo onde f seja estritamente monotônica e f’(x) ≠ 0. Calculando f’(x) por quociente:
$$f’(x)=\frac{(3x2)(x2+1)-(x3-1)(2x)}{(x2+1)^2}
=\frac{x4+3x2+2x}{(x2+1)2}.$$
Note que, para x>0, o numerador x4+3x2+2x>0, logo f’(x)>0 em (0,∞). Concluímos que f é estritamente crescente em I=(0,∞) e f’(x) nunca se anula ali. Assim f: I→J é invertível e f^{-1} é derivável.
Note que, para x>0, o numerador x4+3x2+2x>0, logo f’(x)>0 em (0,∞). Concluímos que f é estritamente crescente em I=(0,∞) e f’(x) nunca se anula ali. Assim f: I→J é invertível e f^{-1} é derivável.
Passo 3
O intervalo J é a imagem de I sob f. Como
f( x→0^+ )→-1 e f(x→∞)→∞, temos J = (-1,∞). Agora para a=0, achamos x₀ = f^{-1}(0) resolvendo f(x)=0:
f( x→0^+ )→-1 e f(x→∞)→∞, temos J = (-1,∞). Agora para a=0, achamos x₀ = f^{-1}(0) resolvendo f(x)=0:
Passo 4
Aplicando a fórmula da derivada da inversa em a=0:
Como já temos f’(x)=\frac{x4+3x2+2x}{(x2+1)2}, obtemos
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Resposta
I = (0,∞), J = (−1,∞) e (f^{-1})’(0) = 2/3