Estudar a derivabilidade da função
definida em
por
.
Passo 1
Temos a função definida em [0,+∞[ por f(x)=cos(√x). O objetivo é estudar onde f é diferenciável e determinar f′(x). Vamos usar a regra da cadeia para x>0 e a definição de derivada no ponto 0.
Passo 2
Para x>0, a função u(x)=√x é diferenciável (pois é potência com expoente 1/2) e cos(u) também é diferenciável. Pela regra da cadeia, f é diferenciável em todo x>0.
Calculemos f′(x) para x>0. Como u(x)=√x, temos u′(x)=1/(2√x). E derivada de cos(u) é −sin(u). Logo:
Calculemos f′(x) para x>0. Como u(x)=√x, temos u′(x)=1/(2√x). E derivada de cos(u) é −sin(u). Logo:
Passo 3
Agora, no ponto x=0, usamos a definição de derivada:
Passo 4
Para avaliar esse limite, note que cos(θ)≈1−θ²/2 quando θ→0. Aqui θ=√h, então cos(√h)−1≈−h/2 e
Portanto f′(0) existe e vale -1/2.
Passo 5
Concluindo, f é diferenciável em [0,+∞[ e sua derivada é dada por: para x>0, f′(x)=−sin(√x)/(2√x) e f′(0)=−1/2.
Resposta
A função é diferenciável em [0,+∞[ com
e