Estudar a derivabilidade da função f definida em [0,+infty[ por f(x)=cos (raizx).

Passo 1

Temos a função definida em [0,+∞[ por f(x)=cos(√x). O objetivo é estudar onde f é diferenciável e determinar f′(x). Vamos usar a regra da cadeia para x>0 e a definição de derivada no ponto 0.

Passo 2

Para x>0, a função u(x)=√x é diferenciável (pois é potência com expoente 1/2) e cos(u) também é diferenciável. Pela regra da cadeia, f é diferenciável em todo x>0.
Calculemos f′(x) para x>0. Como u(x)=√x, temos u′(x)=1/(2√x). E derivada de cos(u) é −sin(u). Logo:
f'(x)=ddxl(cos(raizx)r)=-sin(raizx)cdot12raizx=-sin(raizx)2raizx, x>0

Passo 3

Agora, no ponto x=0, usamos a definição de derivada:
f'(0)=limhto0^+f(h)-f(0)h=limhto0^+cos(raizh)-1h

Passo 4

Para avaliar esse limite, note que cos(θ)≈1−θ²/2 quando θ→0. Aqui θ=√h, então cos(√h)−1≈−h/2 e
cos(raizh)-1happrox-h/2h=-tfrac12
Portanto f′(0) existe e vale -1/2.

Passo 5

Concluindo, f é diferenciável em [0,+∞[ e sua derivada é dada por: para x>0, f′(x)=−sin(√x)/(2√x) e f′(0)=−1/2.

Resposta

A função é diferenciável em [0,+∞[ com
f'(x)=-sin(raizx)2raizx, x>0,
e
f'(0)=-12

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