Use as regras de diferenciação para calcular f^prime(z) para a função dada.
f(z)=(z^6-1)(z^2-z+1-5 i)

Passo 1

Estamos com a função
f(z) = (z^6 - 1), (z^2 - z + 1 - 5i)
O conteúdo é derivação de produto de funções polinomiais em variável complexa. Vamos usar a regra do produto: se f(z)=u(z)v(z), então f'(z)=u'(z)v(z)+u(z)v'(z).

Passo 2

Definimos as duas funções internas:
u(z) = z^6 - 1,
v(z) = z^2 - z + 1 - 5i
Assim, vamos calcular u'(z) e v'(z).

Passo 3

Derivando cada parte:
Para u(z)=z^6-1, pela regra da potência temos
u'(z) = 6z^5
Para v(z)=z^2 - z + 1 - 5i, derivando termo a termo:
v'(z) = 2z - 1

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(z) = u'(z),v(z) + u(z),v'(z)
Substituindo:
f'(z) = 6z^5igl(z^2 - z + 1 - 5ir) + (z^6 - 1)igl(2z - 1r) 
Expandindo e agrupando termos semelhantes obtém-se
f'(z) = 8z^7 - 7z^6 + (6 - 30i)z^5 - 2z + 1

Resposta

f'(z) = 6z^5(z^2 - z + 1 - 5i) + (z^6 - 1)(2z - 1), que em forma expandida é
f'(z) = 8z^7 - 7z^6 + (6 - 30i)z^5 - 2z + 1

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