1. Achar as coordenadas do ponto que divide o segmento na razão 2. Dados e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto P que divide o segmento AB na razão 2. Estamos trabalhando com geometria analítica, mais especificamente com a divisão de segmentos em uma certa razão. Para isso, vamos usar a fórmula que divide um segmento internamente ou externamente na razão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula para encontrar as coordenadas do ponto P que divide o segmento AB na razão m:n :
P = ( m cdot xB + n cdot xAm + n, m cdot yB + n cdot yAm + n, m cdot zB + n cdot zAm + n )
Aqui, A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB) são os pontos dados.

Passo 3

No nosso caso, a razão é 2, o que significa que queremos que P esteja duas vezes mais próximo de B do que de A . Ou seja, a razão m:n é 2:1 .
Os pontos dados são:
A = (2, 5, -1) e B = (3, 0, -2)

Passo 4

Agora, vamos aplicar os valores na fórmula:
Px = 2 cdot 3 + 1 cdot 22 + 1 = 6 + 23 = 83 approx 2.67
Py = 2 cdot 0 + 1 cdot 52 + 1 = 0 + 53 = 53 approx 1.67
Pz = 2 cdot (-2) + 1 cdot (-1)2 + 1 = -4 -13 = -53 approx -1.67
Então, as coordenadas de P seriam aproximadamente (2.67, 1.67, -1.67) .

Passo 5

Contudo, na resposta que você forneceu, P = (4, -5, -3) , vemos que os valores são diferentes. Isso indica que o ponto P está dividindo o segmento AB externamente na razão 2. Para divisão externa, a fórmula muda um pouquinho:
P = ( m cdot xB - n cdot xAm - n, m cdot yB - n cdot yAm - n, m cdot zB - n cdot zAm - n )
Vamos aplicar essa fórmula agora.

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula de divisão externa:
Px = 2 cdot 3 - 1 cdot 22 - 1 = 6 - 21 = 4
Py = 2 cdot 0 - 1 cdot 52 - 1 = 0 - 51 = -5
Pz = 2 cdot (-2) - 1 cdot (-1)2 - 1 = -4 + 11 = -3

Resposta

Então, as coordenadas do ponto P são P = (4, -5, -3) .

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