1. Verificar se os pontos A=(2,1,2), B=(1,2,-1) e C=(-1,0,-1) sāo vértices de algum triângulo retângulo.
Resp.: ABC é triângulo retângulo com o ângulo reto em B.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(2,1,2), B=(1,2,-1) e C=(-1,0,-1) em R^3 e pede para verificar se formam um triângulo retângulo. Vamos usar geometria vetorial, mais especificamente o produto escalar, para testar perpendicularidade de lados.

Passo 2

Em R^3, dois vetores são ortogonais se, e somente se, seu produto escalar é zero. No triângulo ABC, o ângulo em B é reto exatamente quando
BAcdotBC=0

Passo 3

Calculamos as componentes dos vetores que partem de B:
BA=A-B=(2-1,;1-2,;2-(-1))=(1,,-1,,3),
BC=C-B=(-1-1,;0-2,;-1-(-1))=(-2,,-2,,0)

Passo 4

Agora o produto escalar:
BAcdotBC =1cdot(-2)+(-1)cdot(-2)+3cdot0 =-2+2+0=0
Como o resultado é zero, BA e BC são perpendiculares.

Passo 5

Conclusão: o ângulo ang<= ABC mede 90^circ, logo ABC é um triângulo retângulo com o ângulo reto em B.

Resposta

ABC é triângulo retângulo com o ângulo reto em B.

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