QUESTÃO 4. Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando:
(c) Sejam A e B matrizes m times p e p times n, respectivamente, e seja C=A B. Então N(B) subset N(C).

Passo 1

O enunciado define matrizes A de tamanho mtimes p e B de tamanho ptimes n, e monta C = A,B. Queremos verificar se vale
N(B) subset N(C)
O conteúdo aqui é espaço nulo (kernel) de uma matriz, e vamos usar a definição básica desse espaço para fazer a prova.

Passo 2

Por definição,
N(B) = ,xinR^n mid Bx = 0 e N(C) = ,xinR^n mid Cx = 0

Passo 3

Seja xinN(B). Então Bx = 0. Como C = A,B, temos
Cx = Al(Bxr) = A(0) = 0
Logo xinN(C). Como isso vale para todo xinN(B), concluímos que
N(B) subset N(C)

Resposta

Verdadeiro.

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