Achar as coordenadas do vetor v de módulo 3 , que forma ângulos iguais com o semi-eixo negativo O x, com o semi-eixo negativo O y e com o semi-eixo positivo O z.

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec v=(x,y,z) de módulo ,3 que forma ângulos iguais com o semi-eixo negativo Ox, com o semi-eixo negativo Oy e com o semi-eixo positivo Oz. Vamos usar o produto escalar para expressar o cosseno desses ângulos.

Passo 2

Sejam ex, ey, ez os versores dos eixos. Então:
costhetax = vec vcdot(- ex)|vec v||- ex| = -x|vec v|, costhetay = -y|vec v|, costhetaz = z|vec v|

Passo 3

Como os ângulos são iguais, seus cossenos também o são. Logo
-x|vec v| ;=; -y|vec v| ;=; z|vec v|
Isto implica
-x = -y = z

Passo 4

Defina k = z. Então x = -k e y = -k, ou seja
vec v = (-k,,-k,;k)
Como |vec v|=3, temos
|vec v| = raiz(-k)^2+(-k)^2+(k)^2 = raiz3k^2 = raiz3,|k| = 3 Longrightarrow |k| = 3raiz3 = raiz3

Passo 5

Para que o ângulo com o eixo Oz seja agudo (cosseno positivo), escolhemos k>0. Assim k=raiz3 e
vec v = l(-raiz3,,-raiz3,;raiz3r)

Resposta

As coordenadas são l(-raiz3,,-raiz3,;raiz3r).

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