O vetor v, de módulo 3 , forma ângulos agudos iguais com os versores i, j, k. Se alpha=(v, i), beta=(v, j) e gamma=(v, k), calcular cos alpha, cos beta, cos gamma e as coordenadas x, y, z do vetor v.

Passo 1

O enunciado diz que o vetor vec v tem módulo 3 e faz ângulos agudos iguais alpha, beta e gamma com os versores vec i,vec j,vec k. O conteúdo aqui é o conceito de cossenos diretores: se um vetor de módulo L forma ângulo alpha com vec i, então a sua projeção em x é Lcosalpha, e vale também a identidade
cos^2alpha+cos^2beta+cos^2gamma=1

Passo 2

Como os ângulos são iguais e agudos, temos
cosalpha=cosbeta=cosgamma = c>0
Substituindo na identidade dos cossenos diretores obtém-se
c^2+c^2+c^2=1 Longrightarrow 3c^2=1

Passo 3

Resolvendo para c,
c^2=13 Longrightarrow c=1raiz3,
(escolhemos o sinal positivo pois os ângulos são agudos).

Passo 4

As coordenadas de vec v são as projeções em cada eixo:
x = |vec v|cosalpha = 3c, y = 3c, z = 3c
Como c=1/raiz3, temos
3c = 3cdot1raiz3 = raiz3

Resposta

cosalpha=cosbeta=cosgamma=1raiz3
(x,y,z)=(raiz3,,raiz3,,raiz3)

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