Questão 1 (35 pontos). Considere as matrizes A=(ll4 & 2 1 & 1) e B=(ccc1 & 1 & -1 2 & 2 & -1 -1 & 0 & 0).
(a) Calcule as inversas A^-1 e B^-1.
(b) Determine a solução do sistema B cdot X=(l1 0 1), onde X=(lx y z) é uma matriz 3 times 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as inversas das matrizes A e B e depois usar B^{-1} para resolver o sistema B·X = (1,0,1)^T. O conteúdo envolve inversão de matrizes (fórmula direta para 2×2 e método de cofactores para 3×3) e aplicação da matriz inversa para resolver um sistema linear.

Passo 2

Para achar A^{-1}, usamos a fórmula de inverso de matriz 2×2: se A=, então . Calculando
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Passo 3

Para achar B^{-1}, primeiro calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(B)=1cdot0-1cdot(-1)-1cdot2=-1
Depois montamos a matriz de cofatores C:
C=0 & 1 & 20 & -1 & -11 & -1 & 0,
o que dá a adjunta
adj(B)=C^T=0 & 0 & 11 & -1 & -12 & -1 & 0
Dividindo pela det(B) obtém-se
B^-1=1-1adj(B)=0 & 0 & -1-1 & 1 & 1-2 & 1 & 0

Passo 4

Para resolver B·X=(1,0,1)^T usamos X=B^{-1}·b. Assim
X=B^-1101=-10-2

Resposta

A^-1=121 & -2-1 & 4
B^-1=0 & 0 & -1-1 & 1 & 1-2 & 1 & 0
X=-10-2

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