Achar o vetor unitário u, paralelo ao plano x O z e ortogonal ao vetor v=(4,5,-3).

Passo 1

Resumindo: queremos um vetor unitário u paralelo ao plano xOz (logo sua componente y é zero) e ortogonal ao vetor v=(4,5,-3). Para isso vamos usar produto escalar e normalização.

Passo 2

No plano xOz, qualquer vetor pode ser escrito como
u=(a,0,c)
Ainda precisamos determinar os escalares a e c.

Passo 3

Ortogonália implica ucdotv=0. Calculando o produto escalar:
(a,0,c)cdot(4,5,-3)=4a+0cdot5-3c=0
Logo
4a-3c=0 Longrightarrow c=43a

Passo 4

Para u ser unitário, basta exigir |u|=1:
|u| =raiza^2+c^2 =raiza^2+l(43ar)^2 =raiz259a^2 =53,lvert arvert =1
Isto dá lvert arvert=tfrac35 e, como c=tfrac43a, segue c=pmtfrac45.

Passo 5

Portanto os vetores unitários que satisfazem as condições são
u=l(tfrac35,0,tfrac45r) ou u=l(-tfrac35,0,-tfrac45r)

Resposta

u=(tfrac35,0,tfrac45) ou u=(-tfrac35,0,-tfrac45).

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