- Achar a derivada da função
no ponto
na direção que forma com o eixo
um ângulo de
. (Resp:
)
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e pede a derivada de
no ponto
na direção que forma com o eixo
um ângulo de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função:
. - O ponto onde a derivada deve ser calculada:
. - A direção é a que faz
com o eixo (ou seja, o vetor direção tem ângulo com o eixo ). - O que se pede: o valor numérico da derivada direcional de
em nessa direção.
Passo 2
O que é a derivada direcional e como vamos calcular (pequena aula):
A derivada direcional de uma função de duas variáveis no ponto
na direção do vetor unitário
é o quanto a função varia por unidade de comprimento ao mover-se a partir de
nessa direção. A fórmula prática e padrão é:
A derivada direcional de uma função de duas variáveis
onde
é o gradiente de
no ponto
e
denota o produto escalar.
Explicando as peças:
Explicando as peças:
-
reúne as derivadas parciais. Cada componente indica a taxa de variação em direção dos eixos e . -
deve ser um vetor unitário (isto é, ). Se o vetor direção dado não for unitário, primeiro normaliza-se (divide-se pelo seu comprimento).
Vou usar essa fórmula: calcularsimbolicamente, avaliá-la em , obter a unidade correspondente a e fazer o produto escalar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(derivando termo a termo):
- Para
: derivada de em relação a é ; derivada de em relação a é (pois é tratado como constante); derivada de em relação a é . Logo,
- Para
: derivada de em relação a é ; derivada de em relação a é ; derivada de em relação a é . Logo,
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
:
Substituindo e
nas expressões obtidas:
Substituindo
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Encontrar o vetor unitário
que corresponde ao ângulo
com o eixo
:
Um vetor de direção que faz ângulo com o eixo
tem componentes
. Como
,
Um vetor de direção que faz ângulo
Verificação rápida que é unitário:
Passo 6
Calcular a derivada direcional pelo produto escalar
. Usando
e
:
Interpretação curta: o sinal negativo indica que, nessa direção, a função
está diminuindo a partir do ponto
; o módulo
é a taxa de diminuição por unidade de deslocamento nessa direção.