1. Achar a derivada da função z=x^{2}-x y-2 y^{2} no ponto P=(1,2) na direção que forma com o eixo O X um ângulo de 60^{\circ}. (Resp: \frac{-9 \sqrt{3}}{2} )

Passo 1

O enunciado dá a função z=x^{2}-x y-2 y^{2}, o ponto P=(1,2) e pede a derivada de z no ponto P na direção que forma com o eixo OX um ângulo de 60^\circ.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função: z(x,y)=x^{2}-x y-2 y^{2}.
  • O ponto onde a derivada deve ser calculada: P=(1,2).
  • A direção é a que faz \,60^\circ com o eixo OX (ou seja, o vetor direção tem ângulo \theta=60^\circ com o eixo x).
  • O que se pede: o valor numérico da derivada direcional de z em P nessa direção.

Passo 2

O que é a derivada direcional e como vamos calcular (pequena aula):
A derivada direcional de uma função de duas variáveis z=f(x,y) no ponto P na direção do vetor unitário \mathbf{u}=(a,b) é o quanto a função varia por unidade de comprimento ao mover-se a partir de P nessa direção. A fórmula prática e padrão é:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f no ponto P e \cdot denota o produto escalar.
Explicando as peças:
  • \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) reúne as derivadas parciais. Cada componente indica a taxa de variação em direção dos eixos x e y.
  • \mathbf{u}=(a,b) deve ser um vetor unitário (isto é, \sqrt{a^{2}+b^{2}}=1). Se o vetor direção dado não for unitário, primeiro normaliza-se (divide-se pelo seu comprimento).
    Vou usar essa fórmula: calcular \nabla f simbolicamente, avaliá-la em P, obter a unidade \mathbf{u} correspondente a \theta=60^\circ e fazer o produto escalar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z(x,y)=x^{2}-x y-2 y^{2} (derivando termo a termo):
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial x}: derivada de x^{2} em relação a x é 2x; derivada de -x y em relação a x é -y (pois y é tratado como constante); derivada de -2y^{2} em relação a x é 0. Logo,
\frac{\partial z}{\partial x}=2x-y.
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial y}: derivada de x^{2} em relação a y é 0; derivada de -x y em relação a y é -x; derivada de -2y^{2} em relação a y é -4y. Logo,
\frac{\partial z}{\partial y}=-x-4y.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto P=(1,2):
Substituindo x=1 e y=2 nas expressões obtidas:
\frac{\partial z}{\partial x}(1,2)=2\cdot 1-2=2-2=0,
\frac{\partial z}{\partial y}(1,2)=-1-4\cdot 2=-1-8=-9.
Portanto o gradiente em P é
\nabla z(1,2)=\bigl(0,\,-9\bigr).

Passo 5

Encontrar o vetor unitário \mathbf{u} que corresponde ao ângulo \theta=60^\circ com o eixo OX:
Um vetor de direção que faz ângulo \theta com o eixo x tem componentes (\cos\theta,\sin\theta). Como \theta=60^\circ,
\mathbf{u}=(\cos 60^\circ,\;\sin 60^\circ)=\left(\tfrac{1}{2},\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Verificação rápida que é unitário:
\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{1}=1.

Passo 6

Calcular a derivada direcional pelo produto escalar \nabla z(1,2)\cdot\mathbf{u}. Usando \nabla z(1,2)=(0,-9) e \mathbf{u}=(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}):
D_{\mathbf{u}}z(1,2)=0\cdot\tfrac{1}{2}+(-9)\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=-9\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\,-\dfrac{9\sqrt{3}}{2}.
Interpretação curta: o sinal negativo indica que, nessa direção, a função z está diminuindo a partir do ponto P; o módulo \dfrac{9\sqrt{3}}{2} é a taxa de diminuição por unidade de deslocamento nessa direção.

Resposta

-\dfrac{9\sqrt{3}}{2}

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