1. A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por T(x, y, z)=\frac{360}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, onde T é medido em graus Celsius e x, y, z em metros. Em que direção no ponto P=(1,2,2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa (derivada) máxima de aumento? (Resp: \left(\frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{-2}{3}\right), \quad 40^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m} )

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em função das coordenadas (x,y,z):
T(x,y,z)=\frac{360}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
O ponto onde precisamos analisar é P=(1,2,2).
O enunciado pede duas coisas:
  • Em que direção, no ponto P, a temperatura aumenta mais rapidamente?
  • Qual é a taxa máxima de aumento (a derivada direcional máxima) nesse ponto?
Informações úteis que temos:
  • T está definida para (x,y,z) com a distância ao eixo origem aparecendo em x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • O ponto P tem coordenadas (1,2,2).
  • Precisamos de uma direção (vetor unitário) e de uma taxa (número com unidade ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}).

Passo 2

Conceitos fundamentais (explicados passo a passo, para usar na prova):
  1. Gradiente e derivada direcional — a ideia
  • O gradiente de uma função T(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais: \nabla T = \left(\frac{\partial T}{\partial x},\frac{\partial T}{\partial y},\frac{\partial T}{\partial z}\right).Esse vetor aponta na direção em que a função T cresce mais rapidamente localmente, e seu comprimento dá a taxa máxima de aumento.
  1. Derivada direcional numa direção unitária \mathbf{u}
  • Se \mathbf{u} é um vetor unitário (ou seja, \|\mathbf{u}\|=1), a derivada direcional de T na direção de \mathbf{u} é D_{\mathbf{u}}T = \nabla T \cdot \mathbf{u},onde `` \cdot’’ é o produto escalar.
  • Pelo produto escalar, \nabla T \cdot \mathbf{u} = \|\nabla T\|\,\|\mathbf{u}\| \cos\theta. Como \|\mathbf{u}\|=1, isso vira \|\nabla T\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \nabla T e \mathbf{u}.
  • A derivada direcional é máxima quando \cos\theta=1, ou seja, quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \nabla T. A taxa máxima é então \|\nabla T\|.
Em resumo prático para a prova:
  • Calcule \nabla T.
  • A direção de máximo aumento é o vetor unitário na mesma direção de \nabla T (ou seja, \nabla T/\|\nabla T\|).
  • A taxa máxima é \|\nabla T\|.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de T.
Escrevo T como
T(x,y,z)=360\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}.
Uso a regra da cadeia e a derivada de uma potência. Para \partial T/\partial x:
  • Derivada de (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2} em relação a x é -\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}\cdot 2x = -x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}.
  • Multiplicando por 360, obtemos \frac{\partial T}{\partial x} = -360\,x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}.
Analogamente,
\frac{\partial T}{\partial y} = -360\,y\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}, \qquad \frac{\partial T}{\partial z} = -360\,z\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}.
Portanto o gradiente geral é
\nabla T(x,y,z) = -360\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}\,(x,y,z).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(1,2,2).
Primeiro calcule x^{2}+y^{2}+z^{2} em P:
1^{2}+2^{2}+2^{2}=1+4+4=9.
Então
(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}=9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27.
Substituindo na fórmula do gradiente:
\nabla T(1,2,2) = -360\cdot \frac{(1,2,2)}{27}.
Agora simplifico o fator numérico:
\frac{360}{27}=\frac{360\div 9}{27\div 9}=\frac{40}{3}.
Logo
\nabla T(1,2,2)= -\frac{40}{3}\,(1,2,2)=\left(-\frac{40}{3}, -\frac{80}{3}, -\frac{80}{3}\right).

Passo 5

Calcular a direção de máximo aumento (vetor unitário) e a taxa máxima.
  1. Magnitude do gradiente em P:
\|\nabla T(1,2,2)\| = \frac{40}{3}\,\|(1,2,2)\| = \frac{40}{3}\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}} = \frac{40}{3}\sqrt{9} = \frac{40}{3}\cdot 3 = 40.
Portanto a taxa máxima de aumento é 40. Como T está em graus Celsius e coordenadas em metros, a unidade é ^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{m}.
  1. Direção de máximo aumento: é o vetor unitário na direção de \nabla T(1,2,2). Divido o gradiente pela sua magnitude:
\frac{\nabla T(1,2,2)}{\|\nabla T(1,2,2)\|} = \frac{\left(-\frac{40}{3}, -\frac{80}{3}, -\frac{80}{3}\right)}{40} = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right).
Observação intuitiva rápida: o sinal negativo indica que a temperatura aumenta mais rapidamente no sentido apontando para a origem (porque a função depende de 1/ distância ao ponto 0), então seguir em direção à origem (vetor aproximado (-1,-2,-2)) aumenta a temperatura.

Passo 6

Resumo prático — o que fazer rapidamente na prova:
  • Diferencie a função para obter \nabla T.
  • Avalie \nabla T no ponto dado.
  • Normalize para encontrar a direção unitária (divida pelo módulo).
  • O módulo do gradiente é a taxa máxima.

Resposta

\left(\frac{-1}{3},\frac{-2}{3},\frac{-2}{3}\right)
40^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}

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