- A temperatura em um ponto
é dada por
, onde
é medido em graus Celsius e
em metros. Em que direção no ponto
a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa (derivada) máxima de aumento? (Resp:
)
Passo 1
O enunciado dá a temperatura em função das coordenadas
:
O ponto onde precisamos analisar é
.
O enunciado pede duas coisas:
- Em que direção, no ponto
, a temperatura aumenta mais rapidamente? - Qual é a taxa máxima de aumento (a derivada direcional máxima) nesse ponto?
Informações úteis que temos:
-
está definida para com a distância ao eixo origem aparecendo em . - O ponto
tem coordenadas . - Precisamos de uma direção (vetor unitário) e de uma taxa (número com unidade
).
Passo 2
Conceitos fundamentais (explicados passo a passo, para usar na prova):
- Gradiente e derivada direcional — a ideia
- O gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais: Esse vetor aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente localmente, e seu comprimento dá a taxa máxima de aumento.
- Derivada direcional numa direção unitária
- Se
é um vetor unitário (ou seja, ), a derivada direcional de na direção de é onde `` ’’ é o produto escalar. - Pelo produto escalar,
. Como , isso vira , onde é o ângulo entre e . - A derivada direcional é máxima quando
, ou seja, quando tem a mesma direção de . A taxa máxima é então .
Em resumo prático para a prova:
- Calcule
. - A direção de máximo aumento é o vetor unitário na mesma direção de
(ou seja, ). - A taxa máxima é
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Escrevo
como
Uso a regra da cadeia e a derivada de uma potência. Para
:
- Derivada de
em relação a é - Multiplicando por
, obtemos
Analogamente,
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Primeiro calcule
em
:
Então
Substituindo na fórmula do gradiente:
Agora simplifico o fator numérico:
Logo
Passo 5
Calcular a direção de máximo aumento (vetor unitário) e a taxa máxima.
- Magnitude do gradiente em
:
Portanto a taxa máxima de aumento é
. Como
está em graus Celsius e coordenadas em metros, a unidade é
.
- Direção de máximo aumento: é o vetor unitário na direção de
. Divido o gradiente pela sua magnitude:
Observação intuitiva rápida: o sinal negativo indica que a temperatura aumenta mais rapidamente no sentido apontando para a origem (porque a função depende de
distância ao ponto
), então seguir em direção à origem (vetor aproximado
) aumenta a temperatura.
Passo 6
Resumo prático — o que fazer rapidamente na prova:
- Diferencie a função para obter
. - Avalie
no ponto dado. - Normalize para encontrar a direção unitária (divida pelo módulo).
- O módulo do gradiente é a taxa máxima.