Nos exercícios abaixo, encontre e classifique os pontos críticos das funções.
2. f(x, y)=x^{4}-2 x^{2} y+2 y^{2}-8 y

Passo 1

O enunciado pede: encontrar e classificar os pontos críticos da função f(x,y)=x^{4}-2x^{2}y+2y^{2}-8y.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{4}-2x^{2}y+2y^{2}-8y.
  • Precisamos:
    1. Determinar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo).
    2. Classificá‑los como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Conceito essencial — gradiente e pontos críticos (aula rápida):
  • O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais: \nabla f=(f_x,f_y).
  • Pontos críticos são soluções do sistema \nabla f=(0,0), ou seja: f_x(x,y)=0,\qquad f_y(x,y)=0.
Vou calcular as derivadas parciais de f.

Passo 3

Calcular f_x e f_y.
Derivando termo a termo:
  • Para x^{4}: \dfrac{\partial}{\partial x}x^{4}=4x^{3}.
  • Para -2x^{2}y: tratar y como constante => \dfrac{\partial}{\partial x}(-2x^{2}y)=-4xy.
  • Os termos em y puros não dependem de x.
Portanto
f_x(x,y)=4x^{3}-4xy=4x(x^{2}-y).
Agora f_y:
  • Para -2x^{2}y: \dfrac{\partial}{\partial y}(-2x^{2}y)=-2x^{2}.
  • Para 2y^{2}: \dfrac{\partial}{\partial y}2y^{2}=4y.
  • Para -8y: \dfrac{\partial}{\partial y}(-8y)=-8.
Logo
f_y(x,y)=-2x^{2}+4y-8.

Passo 4

Resolver o sistema \nabla f=(0,0), isto é:
4x(x^{2}-y)=0, \qquad -2x^{2}+4y-8=0.
Divide em casos a partir da primeira equação.

Passo 5

Caso A: x=0.
Substituindo em f_y=0:
-2\cdot 0^{2}+4y-8=0\quad\Rightarrow\quad 4y-8=0\quad\Rightarrow\quad y=2.
Logo um ponto crítico: (0,2).

Passo 6

Caso B: x\neq 0 então x^{2}-y=0\Rightarrow y=x^{2}.
Substituindo em f_y=0:
-2x^{2}+4(x^{2})-8=0\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-8=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=4.
Assim x=\pm 2. Como y=x^{2}, temos y=4.
Logo dois pontos críticos: (2,4) e (-2,4).
Recapitulando: os pontos críticos são (0,2), (2,4) e (-2,4).

Passo 7

Agora vamos classificar usando a matriz Hessiana e o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Definições e teste (mini‑aula):
  • A Hessiana é a matriz H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
  • O determinante de H é D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.
  • Teste:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou calcular as segundas derivadas.]

Passo 8

Derivar novamente:
  • A partir de f_x=4x^{3}-4xy, f_{xx}(x,y)=12x^{2}-4y, \qquad f_{xy}(x,y)=-4x.
  • A partir de f_y=-2x^{2}+4y-8, f_{yy}(x,y)=4, \qquad f_{yx}(x,y)=-4x,
que confirma f_{xy}=f_{yx}.
O determinante D fica
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(12x^{2}-4y)\cdot 4 -(-4x)^{2}.
Calcule e simplifique:
D(x,y)=48x^{2}-16y-16x^{2}=32x^{2}-16y=16(2x^{2}-y).

Passo 9

Classificar cada ponto crítico.
  1. Ponto (0,2).
  • Calcule f_{xx}(0,2)=12\cdot 0^{2}-4\cdot 2=-8.
  • Calcule D(0,2)=16(2\cdot 0^{2}-2)=16(-2)=-32<0.
Como D<0, (0,2) é ponto de sela.
  1. Ponto (2,4).
  • Calcule f_{xx}(2,4)=12\cdot 2^{2}-4\cdot 4=12\cdot4-16=48-16=32>0.
  • Calcule D(2,4)=16(2\cdot 2^{2}-4)=16(8-4)=16\cdot4=64>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, (2,4) é mínimo local.
  1. Ponto (-2,4).
  • Aqui x^{2}=4 também, então f_{xx}(-2,4)=32>0 e D(-2,4)=64>0.
Portanto (-2,4) é mínimo local.

Passo 10

Comentário adicional útil para a prova (insight sobre globalidade):
  • Para cada x fixo, f visto como função de y é uma parábola com coeficiente de y^{2} igual a 2>0, logo para cada x há um valor de y que minimiza f. Encontrando esse y ótimo: f_y=0\Rightarrow y=\tfrac{1}{2}x^{2}+2.
  • Substituindo em f obtém‑se a função de uma variável g(x)=f\!\bigl(x,\tfrac{1}{2}x^{2}+2\bigr)=\tfrac{1}{2}x^{4}-4x^{2}-8.Derivando g e igualando a zero: g'(x)=2x^{3}-8x=2x(x^{2}-4)=0\Rightarrow x=0,\\ \pm 2.Avaliando g: g(0)=-8,\qquad g(\pm 2)=-16.
  • Como \lim_{|x|\to\infty}g(x)=+\infty, os valores g(\pm 2)=-16 são mínimos globais de g, e correspondem a mínimos globais de f sobre \mathbb{R}^{2}. Assim (2,4) e (-2,4) são mínimos globais (além de locais). O ponto (0,2) continua sendo ponto de sela.

Resposta

(0,2): ponto de sela
(2,4): mínimo local (e mínimo global)
(-2,4): mínimo local (e mínimo global)

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