Nos exercícios abaixo, encontre e classifique os pontos críticos das funções.
2.
2.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar e classificar os pontos críticos da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Precisamos:
- Determinar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo).
- Classificá‑los como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Conceito essencial — gradiente e pontos críticos (aula rápida):
- O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais: . - Pontos críticos são soluções do sistema
, ou seja:
Vou calcular as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calcular
e
.
Derivando termo a termo:
- Para
: . - Para
: tratar como constante => . - Os termos em
puros não dependem de .
Portanto
Agora
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Logo
Passo 4
Resolver o sistema
, isto é:
Divide em casos a partir da primeira equação.
Passo 5
Caso A:
.
Substituindo em :
Substituindo em
Logo um ponto crítico:
.
Passo 6
Caso B:
então
.
Substituindo em :
Substituindo em
Assim
. Como
, temos
.
Logo dois pontos críticos:
e
.
Recapitulando: os pontos críticos são
,
e
.
Passo 7
Agora vamos classificar usando a matriz Hessiana e o teste da segunda derivada para funções de duas variáveis.
Definições e teste (mini‑aula):
- A Hessiana é a matriz
- O determinante de
é . - Teste:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Vou calcular as segundas derivadas.]
Passo 8
Derivar novamente:
- A partir de
, - A partir de
,
que confirma
.
O determinante
fica
Calcule e simplifique:
Passo 9
Classificar cada ponto crítico.
- Ponto
.
- Calcule
. - Calcule
.
Como
,
é ponto de sela.
- Ponto
.
- Calcule
. - Calcule
.
Como
e
,
é mínimo local.
- Ponto
.
- Aqui
também, então e .
Portanto
é mínimo local.
Passo 10
Comentário adicional útil para a prova (insight sobre globalidade):
- Para cada
fixo, visto como função de é uma parábola com coeficiente de igual a , logo para cada há um valor de que minimiza . Encontrando esse ótimo: - Substituindo em
obtém‑se a função de uma variável Derivando e igualando a zero: Avaliando : - Como
, os valores são mínimos globais de , e correspondem a mínimos globais de sobre . Assim e são mínimos globais (além de locais). O ponto continua sendo ponto de sela.