Nos exercícios abaixo, encontre e classifique os pontos críticos das funções.
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Passo 1
O enunciado pede: encontrar e classificar os pontos críticos da função
Informações dadas:
- A função é explícita em duas variáveis
e . - É uma função polinomial de grau 2 (quadrática) em
e .
O que precisamos devolver:
- Coordenadas de todo(s) ponto(s) crítico(s) (pontos onde o gradiente é nulo).
- Classificação de cada ponto crítico: mínimo local, máximo local ou ponto de sela (e, se possível, identificar se é mínimo global).
Passo 2
Definição e como achar pontos críticos (mini-aula curta e prática):
- Um ponto crítico (ou estacionário) de
é um ponto onde as derivadas parciais primeiras se anulam: . - Derivada parcial em relação a
: trata-se de derivar como função de , mantendo fixa. Analogamente para .
Calculemos as derivadas parciais:
Agora igualamos ambas a zero para achar pontos críticos:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Segunda derivada e teste quadrático (mini-aula sobre classificação):
- Para classificar um ponto crítico usamos as derivadas segundas (a matriz Hessiana). Para funções de duas variáveis,
onde
, etc.
- O teste das segundas derivadas (caso usual): calcule
no ponto crítico. - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Calculemos as segundas derivadas (são constantes aqui, porque
é quadrática):
Compute
:
Como
e
, pelo teste temos que o ponto crítico é um mínimo local.]
Passo 4
Observação extra útil (por que é mínimo global?): a função é uma forma quadrática positiva definida somada a termos lineares e constante. Como a Hessiana é constante e positiva definida (autovalores positivos:
e
), a função é estritamente convexa em
. Para funções estritamente convexas, qualquer mínimo local é também mínimo global. Logo, o mínimo em
é global.
Passo 5
Encontrar o valor mínimo (procedimento prático que dá a resposta numérica; também serve para memorizar técnica: completar quadrados):
- Reescrevendo
completando quadrados:
Somando tudo:
Da forma acima fica claro que o menor valor ocorre quando
e
, ou seja em
, e o valor mínimo é
Resposta
Ponto crítico:
— mínimo global; valor mínimo