Nos exercícios abaixo, encontre e classifique os pontos críticos das funções.
  1. f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}+2 x-4 y+2

Passo 1

O enunciado pede: encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+2y^{2}+2x-4y+2.
Informações dadas:
  • A função é explícita em duas variáveis x e y.
  • É uma função polinomial de grau 2 (quadrática) em x e y.
O que precisamos devolver:
  • Coordenadas de todo(s) ponto(s) crítico(s) (pontos onde o gradiente é nulo).
  • Classificação de cada ponto crítico: mínimo local, máximo local ou ponto de sela (e, se possível, identificar se é mínimo global).

Passo 2

Definição e como achar pontos críticos (mini-aula curta e prática):
  • Um ponto crítico (ou estacionário) de f é um ponto (x,y) onde as derivadas parciais primeiras se anulam: \nabla f(x,y)=(0,0).
  • Derivada parcial em relação a x: trata-se de derivar f como função de x, mantendo y fixa. Analogamente para y.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4y-4.
Agora igualamos ambas a zero para achar pontos críticos:
2x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1,
4y-4=0 \quad\Rightarrow\quad y=1.
Portanto, o único ponto crítico é (-1,\,1).

Passo 3

Segunda derivada e teste quadrático (mini-aula sobre classificação):
  • Para classificar um ponto crítico usamos as derivadas segundas (a matriz Hessiana). Para funções de duas variáveis,
\text{Hessiana }H= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, etc.
  • O teste das segundas derivadas (caso usual): calcule D=f_{xx}f_{yy}- (f_{xy})^{2} no ponto crítico.
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas (são constantes aqui, porque f é quadrática):
f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=4,\qquad f_{xy}=f_{yx}=0.
Compute D:
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = 2\cdot 4 - 0^{2} = 8.
Como D=8>0 e f_{xx}=2>0, pelo teste temos que o ponto crítico é um mínimo local.]

Passo 4

Observação extra útil (por que é mínimo global?): a função é uma forma quadrática positiva definida somada a termos lineares e constante. Como a Hessiana é constante e positiva definida (autovalores positivos: 2 e 4), a função é estritamente convexa em \mathbb{R}^{2}. Para funções estritamente convexas, qualquer mínimo local é também mínimo global. Logo, o mínimo em (-1,1) é global.

Passo 5

Encontrar o valor mínimo (procedimento prático que dá a resposta numérica; também serve para memorizar técnica: completar quadrados):
  • Reescrevendo f completando quadrados:
x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1,
2y^{2}-4y=2\bigl(y^{2}-2y\bigr)=2\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)=2(y-1)^{2}-2.
Somando tudo:
f(x,y)=(x+1)^{2}+2(y-1)^{2}-1.
Da forma acima fica claro que o menor valor ocorre quando (x+1)^{2}=0 e (y-1)^{2}=0, ou seja em (x,y)=(-1,1), e o valor mínimo é
f(-1,1)=-1.

Resposta

Ponto crítico: (-1,1) — mínimo global; valor mínimo -1

Exercícios relacionados